【性质+倍增+MST】CF1088F Ehab and a weird weight formula

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【题目】
Codeforces
给出一棵 $n$个点带正权 $w_i$且互不相同的树，满足
除了权值最小的点，每个点 $u$都至少有一个相邻点 $v$满足 $w_u>w_v$。
现在要求另构造一棵树最小化代价：

• 对于每个点 $u$产生 $deg_u\cdot w_u$的代价， $deg_u$为构造的树中点 $u$的度数
• 对于构造树中每条边 $(u,v)$，产生 $\lceil \log_2dis(u,v)\rceil \cdot \min \{w_u,w_v\}$的代价，其中 $dis(u,v)$是给出的树中 $u,v$的距离
  输出这个代价。
  $n\leq 5\times 10^5$

【解题思路】
给出树那个奇怪的限制告诉我们：以 $w_i$最小的点为根时，每个节点的父亲都比它小，即满足小根堆性质。

代价分开太难统计了，不妨考虑将点的代价放到边上考虑，那么一条边 $(u,v)$的代价就是：
$(\lceil \log_2 dis(u,v) \rceil +1) \cdot \min \{w_u,w_v\} + \max \{w_u,w_v\}$

现在我们考虑 $\text{Kruskal}$算法，一个点连出去的最小的边一定在 $\text{MST}$中。那么根据上面哪个柿子，以及题目的小根堆性质，一个节点连出去的边一定是它的 $2^k$级祖先或根节点。于是我们可以枚举它与哪个点相连，选择最小的一条即可。

复杂度 $O(n\log n)$

【参考代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=5e5+10;
const ll inf=1e18;

int read()
{
	int ret=0;char c=getchar();
	while(!isdigit(c)) c=getchar();
	while(isdigit(c)) ret=ret*10+(c^48),c=getchar();
	return ret;
}

namespace DreamLolita
{
	int n,rt,tot;
	int head[N],w[N],fa[20][N];
	ll ans;
	struct Tway{int v,nex;}e[N<<1];
	void add(int u,int v)
	{
		e[++tot]=(Tway){v,head[u]};head[u]=tot;
		e[++tot]=(Tway){u,head[v]};head[v]=tot;
	}
	void dfs(int x)
	{
		if(x^rt)
		{
			int j=0;ll res=inf;
			for(j=1;fa[j-1][fa[j-1][x]];++j) fa[j][x]=fa[j-1][fa[j-1][x]];
			for(j=0;fa[j][x];++j) res=min(res,1ll*(j+1)*w[fa[j][x]]+w[x]);
			res=min(res,1ll*(j+1)*w[rt]+w[x]);ans+=res;
		}
		for(int i=head[x];i;i=e[i].nex)
		{
			int v=e[i].v;
			if(v==fa[0][x]) continue;
			fa[0][v]=x;dfs(v);
		}
	}
	void solution()
	{
		n=read();w[0]=2e9;
		for(int i=1;i<=n;++i) w[i]=read(),rt=w[i]<w[rt]?i:rt;
		for(int i=1;i<n;++i) add(read(),read());

		dfs(rt);
		printf("%lld\n",ans);
	}
}

int main()
{
#ifdef Durant_Lee
	freopen("CF1088F.in","r",stdin);
	freopen("CF1088F.out","w",stdout);
#endif
	DreamLolita::solution();
	return 0;
}