Codeforces 1119D(差分)

题面

传送门

分析

先考虑\(O(nk)\)的做法，先按s从小到大排序,每个串的数显然形成了n个连续区间\([s_i+l,s_i+r]\)，且这些区间的左端点升序排列，然后把区间合并就可以知道有多少个不同的数了

然后考虑优化

对于s[i]产生的区间，我们考虑s[i]和s[i+1]产生的区间之间的间隔

若\(s_i+r \leq s_{i+1}+l\)，即\(r-l \leq s_{i+1}-s_i\)

​ 则说明s[i]产生的区间和s[i+1]产生的区间不相交，答案增加\((s_i+r)-(s_i+l)+1=r-l+1\)

否则说明\(s_i+l\)到\(s_{i+1}+l\)被占满了，答案增加\(s_{i+1}-s_i\)

定义差分\(d_i=s_{i+1}-s_i\)

综上，我们要求\(\sum \begin{cases} r-l+1,r-l \leq d_i \\ d_i,r-l > d_i\end{cases}\)

但是这样还是O(n)的，如何优化？

我们发现这个式子与区间的顺序无关，因此我们按\(d_i\)排序，每次就可以二分找到小于\(d_i\)的区间的位置,然后前缀和就可以了

注意我们刚刚讨论的都是前n-1个区间，最后一个区间直接加上他的长度就可以了

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxn 100005
using namespace std;
int n,m;
long long s[maxn];
long long d[maxn];
struct node{
    long long dif;
    int id;
    friend  bool operator < (node p,node q){
        return p.dif<q.dif;
    }
}a[maxn];
long long sumd[maxn];
int bin_search(int l,int r,long long k){
    int mid,ans=0;
    while(l<=r){
        mid=(l+r)>>1;
        if(a[mid].dif<=k){
            ans=mid;
            l=mid+1;
        }else r=mid-1;
    }
    return ans+1;
}
long long solve(long long l,long long r){
    int pos=bin_search(1,n-1,r-l);
    long long ans=0;
    if(pos-1>0) ans+=sumd[pos-1];
    if(pos<n){
        ans+=(n-pos)*(r-l+1);
    }
    ans+=(r-l+1);
    return ans;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%I64d",&s[i]);
    sort(s+1,s+1+n);
    for(int i=1;i<n;i++){
        d[i]=s[i+1]-s[i];
    }
    for(int i=1;i<n;i++){
        a[i].dif=d[i];
        a[i].id=i;
    }
    sort(a+1,a+n);
    for(int i=1;i<n;i++){
        sumd[i]=sumd[i-1]+a[i].dif;
    }
    long long l,r;
    scanf("%d",&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%I64d %I64d",&l,&r);
        printf("%I64d\n",solve(l,r));
    }
}