【题解】踩方格

题目描述

　　有一个方格矩阵，矩阵边界在无穷远处。我们做如下假设：

　　a、每走一步时，只能从当前方格移动一格，走到某个相邻的方格上；

　　b、走过的格子立即塌陷无法再走第二次；

　　c、只能向北、东、西三个方向走；

　　请问：如果允许在方格矩阵上走n步，共有多少种不同的方案。2种走法只要有一步不一样，即被认为是不同的方案。

输入输出格式

输入格式

　　允许在方格上行走的步数n(n≤20)。

输出格式

　　计算出的方案数量。

输入输出样例

输入样例

2

输出样例

7

题解

　　设$a[i]$为移动$i$步的方案，相信大家都会直接列出一条式子$a[i]=a[i-1]\times3$。

　　仔细看题：“走过的格子立即塌陷无法再走第二次”，显然这个式子是错的。

　　我们有很容易想到，当你从西边走来时，不能往东走，从东边来同理。又列出一条式子$a[i]=a[i-1]\times2$。

　　这条式子又是错误的。它忽略了从南边走来的情况是可以往三个方向走的。很容易想到从南边来的方案数为$a[i-2]$。

　　最后可以得到递推式$a[i]=a[i-1]\times2+a[i-2]$。

#include <iostream>

using namespace std;

int n;
int a[25];

int main()
{
    cin >> n;
    a[0] = 1;
    a[1] = 3;
    for(register int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        a[i] = a[i - 1] * 2 + a[i - 2];
    }
    cout << a[n];
    return 0;
}

参考程序