问题描述
教主有着一个环形的花园，他想在花园周围均匀地种上n棵树，但是教主花园的土壤很特别，每个位置适合种的树都不一样，一些树可能会因为不适合这个位置的土壤而损失观赏价值。
教主最喜欢3种树，这3种树的高度分别为10，20，30。教主希望这一圈树种得有层次感，所以任何一个位置的树要比它相邻的两棵树的高度都高或者都低，并且在此条件下，教主想要你设计出一套方案，使得观赏价值之和最高。
输入格式
输入文件garden.in的第1行为一个正整数n，表示需要种的树的棵树。
接下来n行，每行3个不超过10000的正整数ai，bi，ci，按顺时针顺序表示了第i个位置种高度为10，20，30的树能获得的观赏价值。
第i个位置的树与第i+1个位置的树相邻，特别地，第1个位置的树与第n个位置的树相邻。
输出格式
输出文件garden.out仅包括一个正整数，为最大的观赏价值和。
样例输入
4
1 3 2
3 1 2
3 1 2
3 1 2
样例输出
11
说明
【样例说明】
第1～n个位置分别种上高度为20，10，30，10的树，价值最高。
【数据规模与约定】
对于20%的数据，有n≤10；
对于40%的数据，有n≤100；
对于60%的数据，有n≤1000；
对于100%的数据，有4≤n≤100000，并保证n一定为偶数。
题解
一道不错的环形DP问题。先不考虑环形的问题。能够概括一个状态的信息有当前在第几个、种的是哪一棵树以及比旁边的高还是低。我们可以用这些信息来进行状态转移。设\(f[i][j][0/1]\)表示当前在第i个点、种的是第j种树、比旁边高还是低(0表示低，1表示高)。再设\(g[i][j]\)表示在第i个位置上第j种树的价值。那么经过分析有状态转移方程如下：
\[ f[i][0][0]=max(f[i-1][1][1],f[i-1][2][1])+g[i][0] \]
\[ f[i][1][0]=f[i-1][2][1]+g[i][1] \]
\[ f[i][1][1]=f[i-1][0][0]+g[i][1] \]
\[ f[i][2][1]=max(f[i-1][1][0],f[i-1][0][0])+g[i][2] \]
接下来思考环形的问题。由于在环形中，1和n是相邻的，不妨单独考虑1的状态。直接枚举位置1上种了哪种树然后再从第二位动态规划即可。最后的答案即为每次枚举第一位算出来的\(f[n][i][0/1]\)(i不为第1为的树，0或1视情况而定)的最大值。
代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#define N 100002
using namespace std;
int n,a[N],b[N],c[N],f[N][3][2],i,j,k;
int main()
{
cin>>n;
for(i=1;i<=n;i++) cin>>a[i]>>b[i]>>c[i];
int ans=0;
for(k=0;k<3;k++){
for(i=0;i<3;i++){
for(j=0;j<2;j++) f[1][i][j]=0;
}
int tmp;
if(k==0) tmp=a[1];
else if(k==1) tmp=b[1];
else tmp=c[1];
f[1][k][0]=f[1][k][1]=tmp;
for(i=2;i<=n;i++){
f[i][0][0]=max(f[i-1][1][1],f[i-1][2][1])+a[i];
f[i][1][0]=f[i-1][2][1]+b[i];
f[i][1][1]=f[i-1][0][0]+b[i];
f[i][2][1]=max(f[i-1][1][0],f[i-1][0][0])+c[i];
}
for(i=0;i<k;i++) ans=max(ans,f[n][i][0]);
for(i=k+1;i<3;i++) ans=max(ans,f[n][i][1]);
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}