ZOJ 3949 Edge to the Root

题意：

在一棵树中，可以从根节点往其他节点加一条边，使得根节点到其他所有节点的距离和最小，输出最小的距离和。

思路：

我们考虑在加的一条边为$1 \to v$，那么在树上从$1 \to v$的路径上，如果有一个点$y$到$v$比到$1$更近，那么这个点$y$的子树里的所有

点都到$v$更近。那么我们找到离根最近的点$y$，那么$y$子树中的所有点都是到$v$更近。

我们考虑：

$f[u]$表示如果添加了$1 \to u$这条边的最小距离和是多少。

$g[u]$表示如果添加了$1 \to u$这条边有多少点到$u$的距离比到根的距离更小。

$sze[u]$表示$u$的子树的大小。

那么对于它的一个儿子$v$，$f[v] = f[u] - 2 \cdot sze[v] + g[u]$。

因为原来到$u$更优的，那么到$v$至少不会比到根更差，但是$v$的子树中的贡献要重新算。

然后更新一下儿子节点的$g[u]$就好了，这个时候到$v$和到根一样优的点就被删去了。

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 #define ll long long
 5 #define N 200010
 6 #define INFLL 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
 7 #define DEG 20
 8 int n;
 9 vector <int> G[N];
10 
11 int dep[N], fa[DEG][N], sze[N], k[N]; 
12 void DFS1(int u)
13 {
14     k[u] = (dep[u]) / 2 - 1;
15     for (int i = 1; i < DEG; ++i)
16         fa[i][u] = fa[i - 1][fa[i - 1][u]];
17     sze[u] = 1; 
18     for (auto v : G[u]) if (v != fa[0][u])
19     {
20         fa[0][v] = u;
21         dep[v] = dep[u] + 1;
22         DFS1(v); sze[u] += sze[v];
23     }
24 }
25 
26 int findkth(int u, int k)
27 {
28     for (int i = DEG - 1; i >= 0; --i)
29         if ((k >> i) & 1)
30             u = fa[i][u];
31     return u;
32 }
33 
34 int f[N]; ll g[N], res;
35 void DFS2(int u)
36 {
37     if (u != 1)
38     {
39         if (dep[u] <= 3)
40         {
41             f[u] = sze[u];
42             g[u] = g[1] - 1ll * (dep[u] - 1) * sze[u];    
43         }
44         else
45         {
46             int pre = fa[0][u];
47             g[u] = g[pre] - 2 * sze[u] + f[pre];
48             f[u] = sze[findkth(u, k[u])];
49         }
50     }
51     res = min(res, g[u]);
52     for (auto v : G[u]) if (v != fa[0][u])
53         DFS2(v);
54 }
55 
56 int main()
57 {
58     int T; cin >> T;
59     while (T--)
60     {
61         scanf("%d", &n);
62         for (int i = 1; i <= n; ++i) G[i].clear();
63         memset(sze, 0, sizeof sze); 
64         for (int i = 1, u, v; i < n; ++i)
65         {
66             scanf("%d%d", &u, &v);
67             G[u].push_back(v);
68             G[v].push_back(u);
69         }
70         dep[1] = 0; DFS1(1);
71         res = INFLL;
72         g[1] = 0;
73         for (int i = 1; i <= n; ++i)
74             g[1] += dep[i];
75         DFS2(1);
76         printf("%lld\n", res);
77     }
78     return 0;
79 }

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