【CF1139D】Steps to One（动态规划）

【CF1139D】Steps to One（动态规划）

题面

CF
你有一个数组，每次随机加入一个\([1,n]\)的数，当所有数\(gcd\)为\(1\)时停止，求数组长度的期望。

题解

设\(f[i]\)表示\(gcd\)为\(i\)时的答案的期望。
考虑转移就是每次选一个数和\(i\)求个\(gcd\)，那么计算一下变成每个可能的值的方案数直接暴力转移就行了。
复杂度似乎是两个\(log\)？？？

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MOD 1000000007
#define MAX 100100
void add(int &x,int y){x+=y;if(x>=MOD)x-=MOD;}
int fpow(int a,int b){int s=1;while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}return s;}
int n,f[MAX],inv[MAX],mu[MAX];
vector<int> y[MAX];
int main()
{
    scanf("%d",&n);f[1]=0;mu[1]=1;inv[0]=inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
    for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=i;j<=n;j+=i)y[j].push_back(i);
    for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=i+i;j<=n;j+=i)mu[j]-=mu[i];
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        int p=n/i;
        if(i!=1)f[i]=1ll*(f[i]+p)*inv[n-p]%MOD;;
        add(f[0],f[i]+1);
        for(int j=i+i;j<=n;j+=i)
        {
            int d=j/i,s=0;
            for(int v:y[d])s+=mu[v]*(p/v);
            add(f[j],1ll*s*(f[i]+1)%MOD);
        }
    }
    f[0]=1ll*f[0]*inv[n]%MOD;
    printf("%d\n",f[0]);
    return 0;
}