KMeans++算法理论和实现

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简述

在Kmeans当中，有两个限制

• 定义在凸欧式空间上，使得在非凸空间上的聚类效果一般，在非欧式空间上无法计算均值点。
• 病态初始化问题，由于初始化完全随机，会使得生成的点收到限制，最后聚类的结果不好

第一类问题的主流解决方案就是，转换距离度量的方式，这样能使得做到一定的扩展。但任然没有办法解决非欧式空间的问题。
KMeans++这篇论文主要关注于第二个问题。

• KMeans的算法和实现就不再赘述了。可以看 K-Means算法理论及Python实现

这里主要描述KMeans++的算法思路（聚焦于初始化）

1. 先随机选一个点，作为初始的中心
2. 之后，在其他没有选的点中，找到离已经选好的点最远的点（即，离中心点集中点的最小距离的值，在所有的没有被选中为中心点的点中是距离最大的点）
   $X_i = argmin_{i=0}^n( \min_{j=1}^m{||x_i - c_j||^2})$
   • 其中n为点数，m为被选中心数
3. 选出来的点放入中心集合中，一直到最后选完k个初始化的中心
4. 之后，接着完成KMeans操作即可

很明显这样的点在一开始的时候就足够的分散，就不会出现病态初始化的问题了，虽然这样的计算量会很大。

Python实现

import numpy as np
def k_means_pp(X, k=3):
    def centroid_pick(X, k):
        node = np.random.randint(0, len(X))
        centroids = [node]
        while len(centroids) < k:
            centroids.append(
                np.argmax(
                    [np.min([np.linalg.norm(xi - cj) if i not in centroids else -np.inf for cj in centroids ]) for i, xi in enumerate(X)]
                )
            )
        return np.array(centroids)
    
    centroids = X[centroid_pick(X, k)]
    y = np.arange(len(X))
    while True:
        y_new = np.arange(len(X))
        for i, xi in enumerate(X):
            y_new[i] = np.argmin([np.linalg.norm(xi - cj) for cj in centroids])
        if sum(y != y_new) == 0:
            break
        for j in range(k):
            centroids[j] = np.mean(X[np.where(y_new == j)], axis=0)
        y = y_new.copy()
    return y

• 用iris检查

from sklearn import datasets

iris = datasets.load_iris()
test_y = k_means_pp(iris.data)

• 评估方式

def evaluate(y, t):
    a, b, c, d = [0 for i in range(4)]
    for i in range(len(y)):
        for j in range(i+1, len(y)):
            if y[i] == y[j] and t[i] == t[j]:
                a += 1
            elif y[i] == y[j] and t[i] != t[j]:
                b += 1
            elif y[i] != y[j] and t[i] == t[j]:
                c += 1
            elif y[i] != y[j] and t[i] != t[j]:
                d += 1
    return a, b, c, d

def external_index(a, b, c, d, m):
    JC = a / (a + b + c)
    FMI = np.sqrt(a**2 / ((a + b) * (a + c)))
    RI = 2 * ( a + d ) / ( m * (m + 1) )
    return JC, FMI, RI

def evaluate_it(y, t):
    a, b, c, d = evaluate(y, t)
    return external_index(a, b, c, d, len(y))

得到的结果是

External index	Value
JC	0.6822787660436839
FMI	0.8112427991975698
RI	0.8621633554083885

• 实验效果

• 真实效果