K近邻 kd树 搜索算法 python实现

K近邻 k维kd树搜索算法 python实现

在KNN算法中，当样本数据量非常大时，快速地搜索k个近邻点就成为一个难题。kd树搜索算法就是为了解决这个问题。本篇博客主要介绍多维数据kd树搜索算法的Python实现。

python数据结构之二叉树

本篇博客不对二叉树进行详细介绍，只提及一些比较重要的概念。

• 二叉树抽象数据类型的定义：

ADT BinTree:
	BinTree(self, data, left, right)	#构造函数，创建一个新的二叉树
	is_empty(self)							#判断self是否为一个空二叉树
	num_nodes(self)						#求二叉树的结点个数
	data(self)									#获取根结点存储的数据
	left(self)									#获得二叉树的左子树
	right(self)									#获得二叉树的右子树
	set_left(self, btree)					#用btree取代原来的左子树
	set_right(self,btree)					#用btree取代原来的右子树
	traversal(self)							#遍历二叉树中各节点数据的迭代器
	forall(self, op)							#对二叉树中的每个结点的数据执行操作

• 遍历二叉树的两种方法：
  • 深度优先遍历：先根序遍历，中根序遍历，后根序遍历。
  • 广度优先遍历。

kd树算法介绍

kd树是一种对k维空间中的实例点进行存储以便对其进行快速检索的树形数据结构。kd树是二叉树，表示对k维空间的一个划分。构造kd树相当于不断用垂直于坐标轴的超平面将k维空间切分，构成一系列的k维超矩形区域。kd树的每个结点对应于一个k维超矩形区域。

构造平衡kd树

输入：k维空间数据集 $T=\{ x_{1},x_{2},...,x_{N}\}$，N表示样本个数。
其中 $x_{i} = (x_{i}^{1},x_{i}^{2},...,x_{i}^{k})^{T},i=1,2,...,N$
输出：kd树

1. 开始：构造根结点，根节点对应于包含T的k维空间的超矩形区域。选择第一维为坐标轴，以T中所有样本数据的第一维坐标的中位数为切分点，将根结点对应的超矩形区域切分成为两个子区域。切分由通过切分点并与第一维坐标轴垂直的超平面实现。由根结点生成深度为1的左、右子结点：左子结点对应第一维坐标小于切分点的子区域，右子结点对应第一位坐标大于切分点的子区域。将落在切分超平面上的实例点保存在根结点。
2. 重复：对深度为j的结点，选择第i维为切分的坐标轴， $i=(j mod k)+1$。以该结点的区域中所有实例的第i维坐标的中位数为切分点，将该结点对应的超矩形区域切分为两个子区域。切分由通过切分点并与第i维坐标轴垂直的超平面实现。由该结点生成深度为i+1的左右子结点。
3. 直到两个子区域没有实例存在时停止，从而形成kd树的区域划分。

用kd树的最近邻搜索

输入：已构造的kd树；目标点x；
输出：x的最邻近

1. 在kd树中找出包含目标点的x的叶结点：从根结点出发，递归地向下访问kd树。若目标点x当前维的坐标小于切分点的坐标，则移动到左子结点，否则移动到右子结点。直到子结点为叶结点为止。
2. 以此叶结点为“当前最近点”。
3. 递归地向上回退，在每个结点进行以下操作：（a）如果该结点保存的实例点比当前最近点距离目标点更近，则以该实例点为“当前最近点”。（b）当前最近点一定存在于该节点的一个子结点对应的区域。检查该子结点的父结点的另一子结点对应的区域是否有更近的点。具体地，检查另一子结点对应的区域是否与以目标点为球心、以目标点与“当前最近点的距离为半径的超球体相交。如果相交，可能在另一个子结点对应的区域内存在距离目标点更近的点，移动到另一个子结点。接着，递归地进行最近邻搜索；如果不相交，向上回退。
4. 当回退到根结点是，搜索结束，最后的“当前最近点”即为x的最近邻点。

如果实例点是随机分布的，kd树更适用于训练样本数远大于空间维数时的k近邻搜索。当空间维数接近训练实例数时。它的效率会迅速下降，几乎接近线性扫描。

kd树算法伪代码

建立kd树

初始维度设为dim = 0
def creat(points,dim):
	if points is not None:
    	1.找到所有样本点(points)在第dim维度下的坐标的中位点，记为point[media]
        2.确定过该中位点且垂直于第dim维坐标轴的一个超平面。(只是一个概念无需体现在代码中)
        3.该超平面将空间分为两个子空间。该中位点则作为当前kdtree的根结点						root.data=point[media]
        4.在第dim维度下，小于该中位点的所有样本点被划分到左子树，记为lefts点集
        5.大于该中位点的所有样本点被划分到右子树，记为rights点集.
    	递归执行：root.left = creat(lefts,（dim+1）% m)
    	递归执行：root.right = creat(rights,（dim+1）% m)
    	return root
    else:
    	return None

搜索最近邻点

def research_nn(point):
	1.遍历：将point点的坐标对应维度与kdtree的结点进行比较，小于结点对应维度的值往左子树走，反之往右子树走，等于的话就停止，或者知道kdtree的叶子结点再停止。将经过的所有节点坐标依次压入栈stack。以最后停下来的点(stack.pop)作为最近零点，并计算距离dist_min
	2.回溯：
	def back(point, dist):
		leaf = stack.pop
		计算leaf与point的距离，记为dist
		if dist <= dist_min:
			dist_min=dist
			return
		else:
			计算point到leaf的父结点所在的超平面的距离，记为dist
			if dist_min<dist:   #说明没有交点
				return
			else：
				stack。append(leaf的兄弟结点)
				back(point, dist)

kd树算法python实现

使用开源的KDTree库函数，详情见https://mp.csdn.net/mdeditor/87977160#

参考文献

1.李航，统计学习方法，清华大学出版社。
2.裘宗燕，数据结构与算法python语言描述，机械工业出版社。