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生活实例
我们在生活中就经常应用到最大似然估计的思想。
比如你高中的班主任上课时从教室门缝进行扒头观测，10 次独立观测的结果显示，小明同学睡觉 8 次，听讲 2 次，班主任由此推断小明上课经常不好好听讲，班主任的推断应用的就是极大似然估计的思想。
具体而言，最大似然估计有以下特点。
似然不是概率
什么是概率呢？投掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的 概率 是 0.5。
发现了没？在讨论概率的时候，我们并不需要真实地把硬币抛出去。我们讨论的是某种情况发生的可能性。抛掷硬币正面向上的可能性也可以理解为硬币的一个参数。
似然又如何解释？
回想班主任扒头的例子，假设班主任刚开始接触这个班级，对同学们的认识程度为 0。假设小明上课听讲的状态是小明的一个参数，班主任事先不知道这个参数，但是班主任拿到了她的观测结果：在 10 次扒头的独立实验中，有 8 次为没有好好听讲。
于是班主任 通过已知的观测结果（或者是数据），反过来推测小明的参数，这种情形需要用似然来解释。
从公式的角度来看，假设某一事物的参数为 θ，概率是已知参数的情况下，某个随机变量 X 的取值出现的可能性，如 P(X | θ = 这枚硬币质地均匀)，而似然函数则是 L(θ | X = 抛掷 2 次 1 次正面向上)。
似然函数如何求解呢？
在最大似然估计中，似然函数被定义为样本观测值出现的概率。
从上面这句话的角度理解，我们很容易得到 L(θ|x) = P(x|θ)。如果从贝叶斯公式的角度来看，似然函数是条件概率的逆反。我们也很容易得到 L(θ|x) = αP(x|θ)，其中 α 是任何大于 0 的常数（取 1 即可）。
朴素的最大似然估计
现在，我们使用以下维基百科似然函数这个词条中的例子——抛硬币。
现在已知抛了两次硬币，都是正面朝上，这是已知的观测结果（用 HH 表示，H 是 head 的缩写），我们想据此推论抛掷该硬币正面向上的可能性，即该硬币的参数 θ，即求 L(θ|HH)。
显然，我们根本不知道怎么求L(θ|HH)... 怎么办？假设一下吧。
假设 θ = 0.5，那么有
即 θ = 0.5 时，样本观测值出现的概率为 0.25。
再假设 θ = 0.6，那么有
即 θ = 0.6 时，样本观测值出现的概率为 0.36。
发现了什么问题？当 θ = 0.6 时，样本观测值出现的概率提高了。
如果我们不断假设 θ 并计算样本观测值出现的概率，就能得到如下结果：
其中横轴为 θ，纵轴为样本观测值出现的概率，即似然。
现在回想一下今天的主题：最大似然估计，最大似然，最大...
你可能已经猜到了。最大似然估计的理念就是，看看参数 θ 取多少的时候，样本观测值出现的概率最大？比如上面的例子中，当硬币两面都是正面的时候，我们的观测结果（两次投掷均正面向上）出现的概率最大，那么我们就合理估计：硬币的参数为 θ = P(出现正面) = 1。
所以在最大似然估计当中包含着一个朴素的思想：对于有限次的观测结果，既然该结果能出现到我们面前，我们就简单的认为，这个结果出现的可能性很大，在估计参数的时候，就让这个结果出现的概率最大。
比如说，投掷两次硬币都正面向上，之所以出现这样的结果，是因为这样的结果出现的概率最大，我们希望取到某一个参数 θ，使这样的结果出现的概率最大。也就是取图像中的最大值 1。
同理，3 次投掷硬币，前两次正面向上，第三次反面向上，那么用最大似然估计得到的结果是多少呢？在看下图给出的计算结果之前，不妨先思考一下。
在 θ = P(出现正面) = 2/3 时，似然函数的值最大，根据最大似然估计的思想，我们取参数为 2/3。
最大似然估计在机器学习中的应用
为什么最大似然估计能广泛应用在机器学习领域？这其实是一种遗憾：我们想求解的问题中包含的数据往往是无穷无尽的，不可能将这些数据全部获取。
因此只能通过最大似然估计等估计方法，通过已知的，有限个的样本，估计整个无穷无尽的数据集的参数。
当然，这样的估计无可避免会产生误差。比如投掷两次硬币两次均正面朝上的情况，有实际生活经验的我们都知道，2 次实验无法说明任何问题。
最大似然估计的计算
上面我们讲的都是投硬币的例子，属于离散分布中的二项分布。对于离散分布，参数离散且有限的情况下，我们确实可以逐一带入尝试，找到最优解。
在机器学习领域我们实际上更经常遇到的是数据服从某种连续分布（如高斯分布），且参数无限的情况。得到似然函数后，为了便于计算，经常要取该函数的对数。求解这种对数似然函数的最大值是一个最优化问题，常用的方法包括梯度下降法，牛顿法等。本文不再做详细介绍。
最大似然估计法在许多机器学习经典模型（如线性回归，逻辑回归）中都有应用。欢迎关注力扣的机器学习专栏，我们会在专栏中奉上其具体的应用细节。
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参考资料
https://www.jiqizhixin.com/articles/2018-01-09-6
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BC%BC%E7%84%B6%E5%87%BD%E6%95%B0
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80%E5%A4%A7%E4%BC%BC%E7%84%B6%E4%BC%B0%E8%AE%A1
本文作者：宫业奇
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