今天做到一道关于“质数”的题目，想到去年九月吃“黎曼猜想”的瓜时看李永乐老师发到网上的视频，觉得可以写个“番外博客”
1. 欧几里德证明“质数有无穷多个”
假设质数是有限个，不妨设其为 2, 3, 5, ..., p，即 p 为最大质数
令 q = 2 x 3 x 5 x ... x p + 1
若 q 为质数，则 q > p，与 p 为最大质数矛盾
若 q 为合数，则找其约数（分解质因数），得到 q 对 2、3、5、...、p 取余，均得 1，与 q 为合数矛盾
=> 假设不成立
=> 质数有无穷多个2. 埃拉托色尼的“筛选法”
- 列出 1 到 n
- 求出 sqrt(n)
- 划掉小于 sqrt(n) 的质数的倍数
- 剩下的数，除 1 以外均是质数
例如数字 16
step1
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16
step2
sqrt(16) = 4
step3
小于 4 的质数为 2, 3
16 以内 2 的倍数为 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16
16 以内 3 的倍数为 6, 9, 12, 15
剩下的数字为 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13
step4
除了 1，剩余的 2, 3, 5, 7, 11, 13 就是 16 以内全部的质数3. 欧拉乘积公式
- 欧拉通过研究下方这个级数公式
\[ \epsilon(s) = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + ... \]
- 得到了欧拉乘积公式（其中 p 是全体质数）
\[ \epsilon(s) = \prod\limits_{p}(1 - p^{-s})^{-1} \]
即
\[ \epsilon(s) = \frac{1}{1 - \frac{1}{2^s}} \times \frac{1}{1 - \frac{1}{3^s}} \times \frac{1}{1 - \frac{1}{5^s}} \times ... \]
- 欧拉还发现一个规律
\[ \pi(x) \approx \frac{x}{lnx} \]
π(x) 的意思是小于 x 的所有的质数的个数
4. 高斯的发现
- 质数的密度
\[ \rho(x) \approx \frac{1}{lnx} \]
5. 勒让德的“素数定理”
- 1798 年，勒让德提出“素数猜想”
\[ \pi(x) = \int_0^x \frac{dt}{lnt} + C \]
- 1849 年，高斯说他在 1792 年左右就发现了这个规律，于是高斯与勒让德共享这个结论
- 1896年，两位年轻的数学家阿达马 (J.Hadamard) 和德·拉·瓦莱布桑 (C. J. de la Vallée Poussin) 按照黎曼 (B. Riemann) 的思路，各自独立地证明了素数定理
- 1949年，两位年轻的数学家——31 岁的赛尔伯格 (A. Selberg) 和 35岁的爱多士 (P. Erdös) 分别独立地证明了素数定理（用了新的方法）
6. 科赫的补充
- 若“黎曼猜想”被证实，则余项
\[ C \approx \sqrt{x} lnx \]
7. 为何除到 sqrt(n)
设 n 为合数
不妨设 n = a x b，其中 a, b 均为大于 1 的自然数
=> a, b 之中总有一个数小于或等于 sqrt(n)，不妨设 a <= sqrt(n)
除了 sqrt(n)（若存在），其他的 a, b 都是一大一小的
=> b >= sqrt(n)
即，若大于 1 的自然数 n 没有小于 sqrt(n) 的因数，则其也不会有大于 sqrt(n) 的因数
所以只检查小于或等于 sqrt(n) 的因数即可