fold算法（拉格朗日插值）

 1 如果打表发现某个数列: 差分有限次之后全为0  例如: 2017新疆乌鲁木齐ICPC现场赛D题 1,2,4,8,16,31,57,99,163,256,……
 2 【2018江苏南京ICPC现场赛也有这样的题目】
 3 那么可以使用以下黑科技计算出第k(1e18)项(对质数取模) (原理: 拉格朗日插值)
 4 预处理复杂度为线性, 每次计算复杂度为: O(传入项数个数)【同样也是线性】
 5 以下代码为内测版, 出锅了fold不背锅, 欢迎指出bug
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 7 ------------------------下面是模板代码------------------------
 8 typedef long long ll;
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10 //mod一定要是质数
11 const int mod=1e9+7;
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13 int pv[]={0,1,2,4,8,16,31,57}; //前几项, 前面无效值用0占位
14 const int st=1,ed=6;           //使用上面数组下标为[st,ed]的数据
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16 ll fac[ed+5],inv[ed+5],facinv[ed+5];
17 ll pre[ed+5],saf[ed+5];
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19 //预处理: fac[]阶乘, inv[]逆元, facinv[]阶乘逆元
20 //只需要main函数内调用一次!
21 void init()
22 {
23     fac[0]=inv[0]=facinv[0]=1;
24     fac[1]=inv[1]=facinv[1]=1;
25     for(int i=2;i<ed+3;++i)
26     {
27         fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
28         inv[i]=mod-(mod/i*inv[mod%i]%mod);
29         facinv[i]=facinv[i-1]*inv[i]%mod;
30     }
31 }
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33 
34 //计算第x0项的值
35 //复杂度O(ed-st)
36 ll cal(ll x0)
37 {
38     int n=ed-st;
39     x0=((x0%mod)+mod)%mod;
40     pre[0]=((x0-st)%mod+mod)%mod;
41     saf[n]=((x0-st-n)%mod+mod)%mod;
42     for(int i=1;i<=n;++i)
43     {
44         pre[i]=((pre[i-1]*(x0-st-i))%mod+mod)%mod;
45         saf[n-i]=((saf[n-i+1]*(x0-st-n+i))%mod+mod)%mod;
46     }
47     ll res=0;
48     for(int i=0;i<=n;++i)
49     {
50         ll fz=1;
51         if(i!=0)fz=fz*pre[i-1]%mod;
52         if(i!=n)fz=fz*saf[i+1]%mod;
53         ll fm=facinv[i]*facinv[n-i]%mod;
54         if((n-i)&1)fm=mod-fm;
55         (res+=pv[i+st]*(fz*fm%mod)%mod)%=mod;
56     }
57     return res;
58 }

View Code

fold爷nb