已知数列$ x_n $满足$ 0<x_1<x_2<\pi $,且
\begin{equation*}
x_{n+1}=
\left\{ \begin{aligned}
x_n+\sin x_n&,x_n\le x_{n-1}\\
x_n+\cos x_n&,x_n> x_{n-1}
\end{aligned} \right.
\end{equation*}
证明:$x_4>x_3$且$0<x_n<\pi$
证明:有定义$x_3=x_2+\cos x_2$
若$ 0<x_2<\dfrac{\pi}{2} $则$x_3>x_2$,又由单调性得$ 1<x_3<\dfrac{\pi}{2} $故$x_4=x_3+\cos x_3>x_3 $
若$ \dfrac{\pi}{2}\le x_2<\pi $则$ x_3\le x_2 $又由单调性得$ \dfrac{\pi}{2}\le x_3< \pi $故$ x_4=x_3+\sin x_3>x_3 $
综上$ x_4>x_3 $
下面用数学归纳法证明$ x_n\in(0,\pi) $
(1)当$ n=2 $时$ x_2\in(0,\pi) $命题成立
(2)假设当$n=k\ge2$时$ x_k\in(0,\pi) $成立,
那么$ n=k+1 $时,由定义
\begin{equation*}
x_{k+1}=
\left\{ \begin{aligned}
x_k+\sin x_k&,x_k\le x_{k-1}\\
x_k+\cos x_n&,x_k> x_{k-1}
\end{aligned} \right.
\end{equation*}
利用分段函数每一段上的单调性易知当$ x_k\in(0,\pi) $时$ x_{k+1}\in(0,\pi) $
综上由(1)(2)结合$x_1\in(0,\pi)$知$x_n\in(0,\pi),n\in N^+$
练习:MT【267】
\begin{equation*}
\textbf{已知}x_1,x_2<\pi,x_{n+1}=x_n+\left\{ \begin{aligned}
sin x_n &,x_n>x_{n+1}\\
cos x_n&,x_n\le x_{n+1}\\
\end{aligned} \right.
\end{equation*}
证明:$ x_n<\dfrac{3\pi}{2}$
注:这个练习题让我想起了遇到这题的那个夏天，地点杭州，时间2014，当时带我们学校的学生去参加数学会组织的暑期竞赛培训，结束后，顺道去睿达看望正在授课的陈计老师，两件事让我记忆尤深，第一件是和陈老师睡一间彻夜长谈的情景，第二件是电梯口遇到苏淳老师。苏老师身为宗师级的老前辈，对后辈一点架子都没有。我当时在电梯口等电梯没认出苏老师（这之前平时看苏老师的书算是二维的苏老师，从没见过三维的苏老师），闲聊搭讪时候自我介绍说我也是数学老师，苏老师竟然对我鞠了一躬，笑着说道：老师好！然后另外一个老师过来和苏老师打招呼，我才知道原来他就是大名鼎鼎的苏淳，我赶忙鞠躬致意。后来听苏老师讲组合，上课娓娓道来，思路清晰，让我感觉醍醐灌顶。