Birth-Death process 生灭过程

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1.定义

假设系统有一状态集 $E={0,1,2...K}$,令 $N(t)$表示系统在 $t$时刻所处的状态，则有以下结论：

$p_{i,i+1}(\Delta t)=P(N(t+\Delta t)=i+1|N(t)=i)=\lambda_i\Delta t+o(\Delta t)$
$p_{i,i-1}(\Delta t)=P(N(t+\Delta t)=i-1|N(t)=i)=\mu_i\Delta t+o(\Delta t)$
$p_{i,j}(\Delta t)=P(N(t+\Delta t)=j|N(t)=i)=o(\Delta t) |i-j|>2$

其中， $\lambda_i>0,i=0,1,2.....K-1,\mu_i>0,i=1,2,3....K$,均为常数，则称随机过程 ${N(t),t>0}$为有限状态 $E={0,1,2...K}$上的生灭过程。生灭过程是一个特殊的马尔科夫过程。
 

2.平稳分布

令 $p_j(t)=P(N(t)=j),j\in E$,那么由全概率公式，有：
$p_j(t)=p_j(t)[1-\lambda_i\Delta t-\mu_i\Delta t-o(\Delta t)]+p_{j-1}(t)[\lambda_i\Delta t+o(\Delta t)]+p_{j+1}(t)[\mu_i\Delta t+o(\Delta t)]+\sum_{i-j\ge 2} p_i(t)o(\Delta t)$
       $=p_j(t)[1-\lambda_i\Delta t-\mu_i\Delta t]+p_{j-1}(t)[\lambda_i\Delta t]+p_{j+1}(t)[\mu_i\Delta t]$
令 $p_j(t)=\lim_{t\rightarrow+\infty}p_j(t)$, { $p_j,j=0,1,....K$}存在，与初始条件无关，且 $p_j>0,\sum_{j=0}^{j=K}p_j=1$,即{ $p_j,j=0,1,....K$}为平稳分布。

3.性质

• $p_jP_{j,j+1}=p_{j+1}P_{j+1,j}$
• 求各个状态的概率
  结合 $\sum_{j=0}^{j=K}p_j=1$可知， $p_j=\frac{\lambda_0\lambda_1...\lambda_{K-1}}{\mu_1\mu_2...\mu_K}p_0,$其中
  $p_0=\frac{1}{1+\sum_{i=0}^{i=K}\frac{\lambda_0\lambda_1...\lambda_{i-1}}{\mu_1\mu_2...\mu_i}}$

4.例子

• 2-state birth-death process
  
  $\begin{cases} & p_0+p_1=1\\ & p_0\alpha=p_1\beta \end{cases}\Rightarrow p_0=\frac{\beta}{\alpha+\beta},p_1=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}$
• 例二
  
  
  
  M是生成矩阵，将对应的向量相乘，我们可以得到
  $p_0*-N\alpha+p_1\beta=0,p_0*N\alpha-p_1[\beta+(N-1)\alpha]+p_32\beta=0$…
  每个矩阵都是对应状态的平衡方程。
  
  平衡方程。