【Opencv】图像傅里叶变换

1.DFT变换的基本原理

求一个简单连续函数的傅里叶变换：
$$f(t)=\{\begin{array}{ll}A& t\in [-w/2,w/2]\\ 1& \text{else}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}F(u)=& {\int }_{-w/2}^{w/2}A{e}^{-j2\pi ut}dt\\ =& \frac{-A}{j2\pi u}[e^{-j2\pi ut}{]}_{-w/2}^{w/2}\\ =& \frac{-A}{j2\pi u}[e^{-j\pi uw}-e^{j\pi uw}]\end{array}$$
又因为：$\sin \theta =(e^{j\theta }-e^{-j\theta })/2j$得
$$F(u)=Aw\frac{\sin (\pi uw)}{\pi uw}$$
图像为：

通常，傅里叶变换中包含复数项，为显示变换幅值的一种约定。这个幅值称为傅里叶频谱或频谱：
$$|F(u)|=AW\frac{\sin (\pi uw)}{\pi uw}$$
通过上图可以发现

• $F(u)$ 和 $|F(u)|$都与盒子函数的宽度W成反比
• 到原点距离越大，旁瓣的高度岁原点距离的增加而减小
• 函数想u值得正方向和负方向无限延展

1.1 正变换：

$$F(u,v)=\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi (\mu x/M+vy/N)}\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

• $N$ 表示图像的行
• $M$表示图像的列
• $f(x,y)$ 表示像素值

1.2 反变换：

$$f(x,y)=\frac{1}{MN}\sum _{u=0}^{M-1}\sum _{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi (ux/M+vy/N)}\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

1.3 欧拉公式：

$$e^{j\theta }=\cos \theta +j\sin \theta \text{\hspace{1em}(1.3)}$$
利用欧拉公式对傅里叶变换变形，可以的到一个傅里叶变换的复数形式

1.4 频域分析

频域分析就是分析 $F(u,v)$ 包括：

• $|F(u,v)|$: 幅值
• $e^{j\theta (u,v)}$ : 相角
• $R(u,v)$ : 实部
• $iI(u,v)$: 虚部

二维函数的f幅值谱：
$$|F(u,v)|=[R^2(u,v)+I^2(u,v){]}^{1/2}\text{\hspace{1em}(1.4)}$$
傅里叶谱通过：$\lg (1+|F(u,v)|)$表示
相位：
$$\phi (u,v)={\tan }^{-1}[I(u,v)/R(u,v)]\text{\hspace{1em}(1.5)}$$
能量谱：
$$E(u,v)=R^2(u,v)+I^2(u,v)\text{\hspace{1em}(1.6)}$$

1.5 共轭性质

2. OpenCV中实现DFT的函数

• 当inputArray 为两个通道的形式时，输出也必须为两个通道。通道0表示实部，通道1表示虚部。因此如果为图像(灰度图像)，则需要原图构造一个通道1全为0的两个通道的CV_32F2对象。
• 当inputArray为单个通道的形式是，必须是一个实数组，此时输出也单个通道上ccs格式的复数组，此时可用