UVa 1426 Discrete Square Roots (扩展欧几里德)

题意：给定 x，n，r，满足 r² ≡ x mod(n) ，求在 0 ~ n 内满足 rr² ≡ x mod(n) 的所有的 rr。

析：很明显直接是肯定不行了，复杂度太高了。

r² ≡ x mod(n) （1）

rr² ≡ x mod(n) （2）
用（2）- （1）得到

rr² - r² ≡ 0 mod (n)

(rr + r)*(rr - r) ≡ 0 mod (n)，

可以得到

(rr + r)*(rr - r) = k * n。

假设 n = a * b，

那么可以知道 (rr + r) % a == 0 && (rr - r) % b == 0 || (rr + r) % b == 0 && (rr - r) % a == 0，

也就是

rr + r = k1 * a （3）

rr - r = k2 * b （4）

（3）-（4）得

k1 * a + k2 * b = 2 * r，

这是一个方程，r 是已知的，然后 a 和 b，可以通过枚举 n 的因子得到，这样就可以解这方程，解出 k1 代入（3），就能得到 rr。

就解决了这个问题，还有这个可能会产生重复的解，所以可以用 set 。

代码如下：

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <set>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <map>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <sstream>
#include <list>
#include <assert.h>
#include <bitset>
#include <numeric>
#define debug() puts("++++")
#define gcd(a, b) __gcd(a, b)
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define ms(a,b) memset(a, b, sizeof a)
#define sz size()
#define be begin()
#define ed end()
#define pu push_up
#define pd push_down
#define cl clear()
#define lowbit(x) -x&x
//#define aLL 1,n,1
#define FOR(i,n,x)  for(int i = (x); i < (n); ++i)
#define freopenr freopen("in.in", "r", stdin)
#define freopenw freopen("out.out", "w", stdout)
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int, int> P;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const LL LNF = 1e17;
const double inf = 1e20;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-6;
const int maxn = 300 + 20;
const int maxm = 76543;
const int mod = 1e9 + 9;
const int dr[] = {-1, 1, 0, 0, 1, 1, -1, -1};
const int dc[] = {0, 0, 1, -1, 1, -1, 1, -1};
const char *de[] = {"0000", "0001", "0010", "0011", "0100", "0101", "0110", "0111", "1000", "1001", "1010", "1011", "1100", "1101", "1110", "1111"};
int n, m;
const int mon[] = {0, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};
const int monn[] = {0, 31, 29, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};
inline bool is_in(int r, int c) {
  return r >= 0 && r < n && c >= 0 && c < m;
}
inline int readInt(){ int x;  scanf("%d", &x);  return x; }

void exgcd(int a, int b, LL &d, LL &x, LL &y){
  if(!b){ d = a;  x = 1; y = 0; }
  else{ exgcd(b, a%b, d, y, x); y -= (a/b) * x; }
}


int main(){
  int x, r, kase = 0;
  while(scanf("%d %d %d", &x, &n, &r) == 3 && x + n + r){
    vector<P> fact;
    int t = sqrt(n + 1.);
    for(int i = 1; i <= t; ++i)  if(n % i == 0)  fact.pb(P(i, n/i)), fact.pb(P(n/i, i));
    set<int> sets;
    sets.insert(r);
    LL k1, k2, d;
    for(int i = 0; i < fact.sz; ++i){
      int a = fact[i].fi;
      int b = fact[i].se;
      exgcd(a, b, d, k1, k2);
      if(2 * r % d)  continue;
      int bb = abs(b / d);
      LL K1 = k1 * 2LL * r / d;
      k1 = (K1 % bb + bb) % bb;
      k2 = k1;
      while(1){
        LL rr = k1 * a - r;
        if(rr >= 0){
          if(rr >= n)  break;
          sets.insert(rr);
        }
        k1 += bb;
      }
      while(1){
        LL rr = k2 * a - r;
        if(rr <= n){
          if(rr < 0)  break;
          sets.insert(rr);
        }
        k2 -= bb;
      }
    }
    printf("Case %d:", ++kase);
    for(auto &it: sets)  printf(" %d", it);
    printf("\n");
  }
  return 0;
}

UVa 1426 Discrete Square Roots (扩展欧几里德)

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