【匈牙利算法最小字典序】距离序列

大致思路：

（先copy一个讲解过来）：

这道题的关键在于对匈牙利算法过程的一个理解。

首先我们可以建立二分图的模型：每个位置可以有2种取值，于是我们把位置作为左边的点，取值作为右边的点。然后进行二分图匹配，只要有完美匹配，完美匹配就是一个可行解。

再考虑题面中最优性的要求。对于字典序问题，我们常常按照字典序枚举。于是这里也可以枚举：从上往下枚举左边的点，按照字典序枚举和右边的哪个点匹配，再看除开匹配了的两个点剩下的那个图中有没有完美匹配。举个例子：不妨设左边的点 $u_i$ 和右边的点 $v_i,v_i'$ 连了边。首先尝试匹配 $u_i, v_i)$ 。在除开了这条边以及这条边之前以及匹配的子图后，看剩下的图有无完美匹配。如果有，就选定 $u_i,v_i)$ ，否则尝试选定 $u_i, v_i')$ 。如果 $u_i, v_i')$ 还不行的话就说明无解。

由于枚举左边的点是 $O (n)$ 的，匈牙利算法是 $O(nm)=O(n^2)$ 的（边数是 $O (n)$ 的），这个方法复杂度是 $O(n^3)$ 的，有些高。

这时就要追寻匈牙利算法的本质了。不妨设左边点集为X，右边的为Y，那么匈牙利算法是后面的X点把Y点以前匹配的X点“挤掉”的过程，因为每次从某个X点 $u$ 开始增广，都会试着让mat[v] = u。如果我们让字典序小的“挤掉”字典序大的，不就刚刚好可以满足题意了么？我们把vector内按照字典序输入，每次再倒着扫描，并且增广即可。复杂度为 $O(n^2)$ ，但是上界比较松，可以通过。

用我的话：

vector[i]代表Si所对应的（满足Di条件的）Ti，那么我们就从0开始从小到大来找这个Ti啊，这样就能保证vector[i]内是从小到大排列的，这样我们在用匈牙利的时候就是优先去连与更小的Ti的那根线咯。然后根据匈牙利算法过程，我们只要倒序地用匈牙利，就能让更小的Si对应的Ti尽量最小（Si说：我会尽量挤掉我的最小的Ti和比我大的Si的连线，除非这个比我大的Si只能连这个Ti别无他选）。

代码：

#include<iostream>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=10010;
vector<int> line[maxn];
int boy[maxn];
int girl[maxn];
int used[maxn];
int n;


bool dfs(int x) 
{
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		if(used[i]==0)
        {
            if(count(line[x].begin(),line[x].end(),i)!=0)
		    {
		    	used[i]=1;
			    if(boy[i]==0 || dfs(boy[i])==1)
		    	{
			    	boy[i]=x;
			    	girl[x]=i;
			    	return 1;
		    	}
		    }
        }
    }
	return 0;
} 




int main()
{
	cin>>n;
	int d;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		scanf("%d",&d); 
		for(int j=0;j<n;j++) //从小到大遍历来找符合要求的 
		{
			if(d==min(abs(i-j),n-abs(i-j)))
				line[i].push_back(j);
		}
	}


	for(int i=n-1;i>=0;i--) //这一步超级关键！要从大到小倒着用匈牙利！ 
	{
		memset(used,0,sizeof(used));
		if(dfs(i)==0)
		{
			cout<<"No Answer";
			return 0;
		}
	}


	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		if(i!=0)
			printf(" ");
		printf("%d",girl[i]);
	}
		
	return 0;
}

我在调试过程中发现的问题：

①我蠢了！我最后输入boy[i] ，这个是指的Ti所对应的Si啊，我要输出的是Ti！所以专门用了一个girl[i]表示Si对应的T[i]。

（如果你不理解这种对应关系boygirl是什么鬼，请戳：https://blog.csdn.net/m0_38033475/article/details/79595617）

②最后一个样例运行超时，原因是我vector用的那个count函数可能时间复杂度有点高了，那么我就把

if(count(line[x].begin(),line[x].end(),i)!=0 && used[i]==0)

拆成两个if语句，先if(used[i]==0)，进去之后再if count的那个，就优化成功了。

【匈牙利算法 最小字典序】距离序列

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