BZOJ 2281: [Sdoi2011]黑白棋 【另类nim游戏】

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题目传送门

题目分析:

题面似乎有点问题，如果白棋可以往左走，黑棋可以往右走，这游戏可能下不完。
所以白棋只能往右走，黑棋只能往左走。
又因为相邻的棋子颜色不同，所以这就变成了k/2个nim游戏的组合，同时有一点变化，就是每次不是只能从一堆中拿，而是至多d堆。

把每一堆的石子数量看成二进制，那么这个游戏的必败状态就是n堆石子每个二进制位上为1的堆数都是(d+1)的倍数。反之则是必胜态。
最后的状态是必败状态，且每个必胜态都可以变成必败态，而必败态无论怎么拿都会变成必胜态，所以得证。

题目要求必胜方案数，那么用总方案减去必败态，考虑DP分别处理每个二进制位，设 $f[i][j]$表示处理了前 $i$位，用了 $j$个石子的方案数，那么枚举当前位为1的堆数是(d+1)的几倍来转移：
$f[i+1][j+k(d+1)*(1<<i)]+=f[i][j]*C_{\frac K2}^{k(d+1)}$

最后统计答案的时候还要算上每对黑白棋的开始位置在哪里，把每对棋看成一组，去掉 $i$个石子的空，就有：
$ans+=f[15][i]*C_{n-i-\frac K2}^{\frac K2}$

总方案就是 $C_n^K$，减去ans就是最终答案。

Code：

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#define maxn 100005
using namespace std;
inline void read(int &a){
    char c;while(!isdigit(c=getchar()));
    for(a=c-'0';isdigit(c=getchar());a=a*10+c-'0');
}
const int mod = 1e9+7;
int n,K,d,f[17][10005],c[10005][105];
inline void add(int &a,int b){a+=b;if(a>mod) a-=mod;}
int main()
{
    read(n),read(K),read(d),K>>=1;//先把K除2
    c[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        c[i][0]=1;//这里j的循环注意取min
        for(int j=min(i,2*K);j>=1;j--) c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
    }
    f[0][0]=1;
    for(int i=0,bit=d+1;i<=14;i++,bit<<=1)//这里的bit直接从d+1开始
        for(int j=n-2*K;j>=0;j--) if(f[i][j])
            for(int k=min(K/(d+1),(n-2*K-j)/bit);k>=0;k--)
                add(f[i+1][j+k*bit],1ll*f[i][j]*c[K][k*(d+1)]%mod);
    int s=0;
    for(int i=0;i<=n-2*K;i++) add(s,1ll*f[15][i]*c[n-i-K][K]%mod);
    printf("%d",(c[n][2*K]-s+mod)%mod);
}