5.6Python数据处理篇之Sympy系列(六)---矩阵的操作

前言

今天我们学习的是，有关sympy的矩阵操作

对应官方的：Matrices

官方教程
 https://docs.sympy.org/latest/tutorial/matrices.html
参考网站
 https://junjiecai.github.io/posts/2017/Jan/30/sympy_intro_3/

（一）矩阵的创建-Matrix（）

1.说明：

Matrix（ｌｉｓｔ），使用list来确定矩阵的维度。

２.源代码：

from sympy import *

# 一纬矩阵
m1 = Matrix([1, 2, 3])

#二维矩阵
m2 = Matrix([[1, -1], [3, 4], [0, 2]])


print(latex(m1))
print(latex(m2))

3.输出：

\[ \left[\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right] \]

\[ \left[\begin{matrix}1 & -1\\3 & 4\\0 & 2\end{matrix}\right] \]

（二）常用的构造矩阵

1.说明：

可以使用sympy自带的方法来快速的构造常用矩阵

单位矩阵：eye(）

零矩阵：zeros(）

一矩阵：ones(）

对角矩阵：diag(）

2.源代码：

from sympy import *

# 单位矩阵
m1 = eye(3)
print(latex(m1))

# 零矩阵
m2 = zeros(3, 4)
print(latex(m2))

# 一矩阵
m3 = ones(3, 4)
print(latex(m3))

# 对角矩阵
m4 = diag([1, 2, 3])
print(latex(m4))

3.输出：

单位矩阵
\[ \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{matrix}\right] \]
零矩阵
\[ \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right] \]

一矩阵
\[ \left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1\end{matrix}\right] \]
对角矩阵
\[ \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 3\end{matrix}\right] \]

（三）基本操作

1.说明：

基本操作有以下几个：

获取形状：.shape()

获得单行与单列：.row(n) .col(n)

删除行与列：row_del(n) .col_del(n)

插入新行与列：.row_insert(pos, M) .col_insert(pos, M)

对矩阵求转置：m.T

2.源代码：

from sympy import *

m = Matrix([[1, -1], [3, 4], [0, 2]])
# 矩阵
print(m)

# 获得形状
print(m.shape)

# 获得单行与单列
print(m.row(0))
print(m.col(0))

# 删除行与列
m.row_del(0)
print("删除第一行后：", m)

m.col_del(0)
print("删除第一列后：", m)
print(m)

# 插入新的行与列
m2 = Matrix([[2, 3]])
print("m2:", m2)

m2 = m2.row_insert(1, Matrix([[0, 4]]))
print("插入新行后：", m2)

m2 = m2.col_insert(2, Matrix([9, 8]))
print("插入新列后：", m2)

# 求逆矩阵
print("其逆矩阵是：", m2.T)

3.输出：

\[ m = \left[\begin{matrix}1 & -1\\3 & 4\\0 & 2\end{matrix}\right] \]

其形状是：（3， 2）

第一行是：
\[ \left[\begin{matrix}1 & -1\end{matrix}\right] \]
第一列是：
\[ \left[\begin{matrix}1\\3\\0\end{matrix}\right] \]
删除第一行后：
\[ \left[\begin{matrix}3 & 4\\0 & 2\end{matrix}\right] \]
删除第一列后：
\[ \left[\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right] \]

\[ m2 = \left[\begin{matrix}2 & 3\end{matrix}\right] \]

插入一行是：
\[ \left[\begin{matrix}2 & 3\\0 & 4\end{matrix}\right] \]
插入一列是：
\[ \left[\begin{matrix}2 & 3 & 9\\0 & 4 & 8\end{matrix}\right] \]
其转转置矩阵是：
\[ \left[\begin{matrix}2 & 3 & 9\\0 & 4 & 8\end{matrix}\right] \]

（四）矩阵的运算

1.加减法

（1）说明：

sympy里的加减法，直接使用+ -即可

（2）源代码：

from sympy import *

M = Matrix([1, 2, 3])

N = Matrix([4, 5, 6])

# 加法与减法

print("M+N:", M+N)
print("M-N:", M-N)

（3）输出效果：

\[ M = \left[\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right] \]

\[ N = \left[\begin{matrix}4\\5\\6\end{matrix}\right] \]

\[ M + N =\left[\begin{matrix}5\\7\\9\end{matrix}\right] \]

\[ M - N = \left[\begin{matrix}-3\\-3\\-3\end{matrix}\right] \]

2.乘法与求逆

（1）说明：

乘法：*

求逆矩阵：M**(-1)

（2）源代码：

from sympy import *

M = Matrix([[1, -1, 1], [2, 3, -2]])
N = Matrix([[1, 2], [2, 1], [1, 1]])

# 求乘法
print(M*N)

# 求逆矩阵
m = Matrix([[1, 3], [-2, 3]])
print(m**(-1))

（3）输出效果：

\[ M = \left[\begin{matrix}1 & -1 & 1\\2 & 3 & -2\end{matrix}\right] \]

\[ N = \left[\begin{matrix}1 & 2\\2 & 1\\1 & 1\end{matrix}\right] \]

\[ M*N = \left[\begin{matrix}0 & 2\\6 & 5\end{matrix}\right] \]

\[ m = \left[\begin{matrix}1 & 3\\-2 & 3\end{matrix}\right] \]

\[ m^{-1} = \left[\begin{matrix}\frac{1}{3} & - \frac{1}{3}\\\frac{2}{9} & \frac{1}{9}\end{matrix}\right] \]

（五）行列式

1.说明：

求行列式：M.det()

求阶梯矩阵：M.rref()

求特征值与向量：M.eignvals()

2.源代码：

from sympy import *


M = Matrix([[1, 0, 1], [2, -1, 3], [4, 3, 2]])

# 求行列式
print("行列式:", M.det())

# 求阶梯行列式
print("阶梯行列式:", M.rref())


# 求特征值与特征向量
M = Matrix([[3, -2,  4, -2], [5,  3, -3, -2], [5, -2,  2, -2], [5, -2, -3,  3]])
print("特征值与特征向量: ", M.eigenvals())

3.输出：

\[ \begin{vmatrix}1 & 0 & 1\\2 & -1 & 3\\4 & 3 & 2\end{vmatrix}=1 \]

\[ M = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 1\\2 & -1 & 3\\4 & 3 & 2\end{matrix}\right] \]
M的阶梯矩阵：
\[ \left ( \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{matrix}\right], \quad \left ( 0, \quad 1, \quad 2\right )\right ) \]

另一个M矩阵：
\[ M = \left[\begin{matrix}3 & -2 & 4 & -2\\5 & 3 & -3 & -2\\5 & -2 & 2 & -2\\5 & -2 & -3 & 3\end{matrix}\right] \]
其特征值是：
\[ \left \{ -2 : 1, \quad 3 : 1, \quad 5 : 2\right \} \]

（六）对角化矩阵

1.说明：

如果要对角化一个矩阵，用diagonalize()

2.源代码：

from sympy import *

M = Matrix([[3, -2,  4, -2], [5,  3, -3, -2], [5, -2,  2, -2], [5, -2, -3,  3]])

P, D = M.diagonalize()

print('矩阵M')
print(M)

print('矩阵P')
print(P)

print('矩阵D')
print(D)

print("P*D*P**-1")
print(P*D*P**-1)

3.输出：

\[ M = \left[\begin{matrix}3 & -2 & 4 & -2\\5 & 3 & -3 & -2\\5 & -2 & 2 & -2\\5 & -2 & -3 & 3\end{matrix}\right] \]

\[ P = \left[\begin{matrix}0 & 1 & 1 & 0\\1 & 1 & 1 & -1\\1 & 1 & 1 & 0\\1 & 1 & 0 & 1\end{matrix}\right] \]

\[ D = \left[\begin{matrix}-2 & 0 & 0 & 0\\0 & 3 & 0 & 0\\0 & 0 & 5 & 0\\0 & 0 & 0 & 5\end{matrix}\right] \]

\(PDP^{−1}=\)
\[ \left[\begin{matrix}3 & -2 & 4 & -2\\5 & 3 & -3 & -2\\5 & -2 & 2 & -2\\5 & -2 & -3 & 3\end{matrix}\right] \]