【APIO 2012】dispatching

【题目】

传送门

题目描述：

在一个忍者的帮派里，一些忍者们被选中派遣给顾客，然后依据自己的工作获取报偿。

在这个帮派里，有一名忍者被称之为 Master。除了 Master 以外，每名忍者都有且仅有一个上级。为保密，同时增强忍者们的领导力，所有与他们工作相关的指令总是由上级发送给他的直接下属，而不允许通过其他的方式发送。

现在你要招募一批忍者，并把它们派遣给顾客。你需要为每个被派遣的忍者支付一定的薪水，同时使得支付的薪水总额不超过你的预算。另外，为了发送指令，你需要选择一名忍者作为管理者，要求这个管理者可以向所有被派遣的忍者发送指令，在发送指令时，任何忍者（不管是否被派遣）都可以作为消息的传递人。

管理者自己可以被派遣，也可以不被派遣。当然，如果管理者没有被排遣，就不需要支付管理者的薪水。你的目标是在预算内使顾客的满意度最大。这里定义顾客的满意度为派遣的忍者总数乘以管理者的领导力水平，其中每个忍者的领导力水平也是一定的。

写一个程序，给定每一个忍者 $i$ 的上级 $b_i$，薪水 $c_i$，领导力 $l_i$，以及支付给忍者们的薪水总预算 $m$，输出在预算内满足上述要求时顾客满意度的最大值。

输入格式：

第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$。其中 $n$ 表示忍者的个数， $m$ 表示薪水的总预算。

接下来 $n$ 行描述忍者们的上级、薪水以及领导力。其中的第 $i$ 行包含三个整 $b_i$， $c_i$， $l_i$ 分别表示第 $i$ 个忍者的上级，薪水以及领导力。Master 满足 $b_ i = 0$，并且每一个忍者的老板的编号一定小于自己的编号 $b_i < i$。

输出格式：

输出一个数，表示在预算内顾客的满意度的最大值。

样例数据：
输入
5 4
0 3 3
1 3 5
2 2 2
1 2 4
2 3 1

输出
6

提示：

【样例解释】

如果我们选择编号为 $1$ 的忍者作为管理者并且派遣第三个和第四个忍者，薪水总和为 $4$，没有超过总预算 $4$。因为派遣了 $2$ 个忍者并且管理者的领导力为 $3$，所以用户的满意度为 $2\times 3=6$，是可以得到的用户满意度的最大值。

【数据范围】

对于 $100\%$ 的数据， $1 ≤n ≤ 10^5$， $1 ≤m ≤ 10^9$， $0 ≤b_i < i$， $1 ≤c_i ≤ m$， $1 ≤l_i ≤ 10^9$。

【分析】

不难看出这是一个树形结构。对于一个节点 $x$，如果以 $x$ 作为管理者，那我们就要在 $x$ 的子树里找尽可能多的点，但是要满足它们的 $\sum c_i\le m$。

由于我们要最大化选点的数量，那明显我们应按照 $c_i$ 从小到大来选。

那我们可以对每个点维护一个大根堆，然后在 $dfs$ 的时候从下往上合并，如果堆里的 $c_i$ 之和大于 $m$，就不断弹出队首，最后 $size_x$ 就是在 $x$ 的子树内能找到的最多的点数。

最后的答案 $ans=max\{size_i\times l_i\}$。

【代码】

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 100005
using namespace std;
int n,m,t;
int first[N],v[N],nxt[N];
int val[N],lead[N],Size[N];
int dis[N],father[N],son[N][2];
long long ans=0,sum[N];
void add(int x,int y)
{
	nxt[++t]=first[x];
	first[x]=t,v[t]=y;
}
int find(int x)
{
	if(father[x]==x)  return x;
	return father[x]=find(father[x]);
}
void pushup(int x)
{
	Size[x]=Size[son[x][0]]+Size[son[x][1]]+1;
	sum[x]=sum[son[x][0]]+sum[son[x][1]]+val[x];
}
int Merge(int x,int y)
{
	if(!x||!y)  return x+y;
	if(val[x]<val[y])  swap(x,y);
	son[x][1]=Merge(son[x][1],y);
	father[son[x][1]]=x;
	if(dis[son[x][0]]<dis[son[x][1]])
	  swap(son[x][0],son[x][1]);
	dis[x]=dis[son[x][1]]+1;
	pushup(x);
	return x;
}
void Pop(int x)
{
	father[son[x][0]]=son[x][0];
	father[son[x][1]]=son[x][1];
	father[x]=Merge(son[x][0],son[x][1]);
}
void dfs(int x)
{
	int i,k,num=lead[x];
	for(i=first[x];i;i=nxt[i])
	{
		k=v[i],dfs(k);
		Merge(find(x),find(k));
	}
	x=find(x);
	while(Size[x]&&sum[x]>m)  Pop(x),x=find(x);
	ans=max(ans,1ll*Size[x]*num);
}
int main()
{
	int x,i,root;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(i=1;i<=n;++i)
	{
		father[i]=i;
		scanf("%d%d%d",&x,&val[i],&lead[i]);
		if(!x)  root=i;  else  add(x,i);
		Size[i]=1,sum[i]=val[i];
	}
	dfs(root);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}