Codeforces.487C.Prefix Product Sequence(构造)

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\(Description\)

对于一个序列\(a_i\)，定义其前缀积序列为\(a_1\ \mathbb{mod}\ n,\ (a_1a_2)\ \mathbb{mod}\ n,...,(a_1a_2...a_n)\ \mathbb{mod}\ n\)。
给定\(n\)，求一个\(n\)的排列，使得该排列的前缀积序列是\([0,1,2,...,n-1]\)的一个排列。无解输出\(NO\)。
\(n\leq10^5\)。

\(Solution\)

考虑无解的情况。因为\(n!\equiv0\ (\mathbb{mod}\ n)\)，所以\((n-1)\not\equiv0\ (\mathbb{mod}\ n)\)。
\(n\)为质数显然可以满足。否则设\(n=pq\)。
若\(p\neq q\)，那么有\((n-1)!\equiv0\ (\mathbb{mod}\ n)\)，GG了。
若\(p=q\)，当\(n>4\)时，\(2p<n\)，所以也有\((n-1)!\equiv0\ (\mathbb{mod}\ n)\)，GG。
所以\(n\)为大于\(4\)的合数时无解。特判一下\(n=4\)。

首先\(a_1\)要填\(1\)，\(a_n\)要填\(n\)。
考虑能不能直接让前缀积序列变成\(1,2,...,0\)。那么\(a_i=\frac{i}{i-1}\ \mathbb{mod}\ n,\ i>1\)。
只需要判断是否有\(\frac{a}{a-1}=\frac{b}{b-1},\ 1\lt a\neq b\lt n\)。
稍微化一下，\(\frac{a}{a-1}=1+\frac1a,\ \frac{b}{b-1}=1+\frac1b\)，而我们知道每个数的逆元是唯一的，所以这么做就OK啦。

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#include <cstdio>
#include <algorithm>
typedef long long LL;
const int N=1e5+5;

int A[N],inv[N];

bool IsPrime(int x)
{
    int t=0;
    for(int i=2; x!=1; ++i)
        while(!(x%i))
        {
            x/=i;
            if(++t>1) return 0;
        }
    return 1;
}

int main()
{
    int n; scanf("%d",&n);
    if(n==4) return printf("YES\n1\n3\n2\n4\n"),0;
    if(!IsPrime(n)) return puts("NO"),0;
    A[1]=1, A[n]=n, inv[1]=1;
    for(int i=2; i<n; ++i) inv[i]=1ll*(n-n/i)*inv[n%i]%n, A[i]=1ll*i*inv[i-1]%n;
    puts("YES");
    for(int i=1; i<=n; ++i) printf("%d\n",A[i]);

    return 0;
}