1.问题分析
采用贪心算法来实现霍夫曼编码。
2.算法设计思路
首先输入帯权值节点个数构造霍夫曼树，再利用贪心算法对节点进行编码，在对哈夫曼树编码的过程中，先对权值较大的节点进行编码，在编码的过程中它们的前缀中不能与其他已经编码过的节点相同，这样是为了在解码的过程中更加容易；霍夫曼编码的具体过程为采取可变长编码方式，对文件中出现次数多的字符采取比较短的编码，对于出现次数少的字符采取比较长的编码，可以有效地减小总的编码长度。
例如，在英文中，e的出现频率最高，z的出现频率最低，所以可以用最短的编码来表示e，用最长的编码表示z。
（1）构建霍夫曼树：
算法：输入是没有相同元素的字符数组(长度n)以及字符出现的频率，输出是哈夫曼树。
即假设有n个字符，则构造出得哈夫曼树有n个叶子结点。n个字符的权值(频率)分别设为w1,w2,…,wn,则哈夫曼树的构造规则为:
1)将w1,w2,…,wn看成是有n棵树的森林(每棵树仅有一个结点);
2)在森林中选出两个根结点的权值最小的树合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和；
3)从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林;
4)重复(2)、(3)步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为所求得的哈夫曼树；
（2）编码算法：
1）从树根开始在HFTree里查找w，向左走记为0；
2）向右走记为0，最终的01串就是w的编码；
3）算法思想类似于二叉树的非递归遍历算法；
4）利用栈来存放上一个树节点的信息；
3.算法实现
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
typedef struct
{
unsigned int weight; //用来存放各个结点的权值
unsigned int parent,LChild,RChild; //指向双亲、孩子结点的指针
} HTNode, *HuffmanTree; //动态分配数组，存储哈夫曼树
typedef char *HuffmanCode; //动态分配数组，存储哈夫曼编码
//选择两个parent为0，且weight最小的结点s1和s2
void Select(HuffmanTree *ht,int n,int *s1,int *s2)
{
int i,min;
for(i=1; i<=n; i++)
{
if((*ht)[i].parent==0)
{
min=i;
break;
}
}
for(i=1; i<=n; i++)
{
if((*ht)[i].parent==0)
{
if((*ht)[i].weight<(*ht)[min].weight)
min=i;
}
}
*s1=min;
for(i=1; i<=n; i++)
{
if((*ht)[i].parent==0 && i!=(*s1))
{
min=i;
break;
}
}
for(i=1; i<=n; i++)
{
if((*ht)[i].parent==0 && i!=(*s1))
{
if((*ht)[i].weight<(*ht)[min].weight)
min=i;
}
}
*s2=min;
}
//构造哈夫曼树ht,w存放已知的n个权值
void CrtHuffmanTree(HuffmanTree *ht,int *w,int n)
{
int m,i,s1,s2;
m=2*n-1; //总共的结点数
*ht=(HuffmanTree)malloc((m+1)*sizeof(HTNode));
for(i=1; i<=n; i++) //1--n号存放叶子结点，初始化
{
(*ht)[i].weight=w[i];
(*ht)[i].LChild=0;
(*ht)[i].parent=0;
(*ht)[i].RChild=0;
}
for(i=n+1; i<=m; i++) //非叶子结点的初始化
{
(*ht)[i].weight=0;
(*ht)[i].LChild=0;
(*ht)[i].parent=0;
(*ht)[i].RChild=0;
}
printf("\n哈夫曼树为: \n");
for(i=n+1; i<=m; i++) //创建非叶子结点，建哈夫曼树
{
//在(*ht)[1]~(*ht)[i-1]的范围内选择两个parent为0且weight最小的结点，其序号分别赋值给s1、s2
Select(ht,i-1,&s1,&s2);
(*ht)[s1].parent=i;
(*ht)[s2].parent=i;
(*ht)[i].LChild=s1;
(*ht)[i].RChild=s2;
(*ht)[i].weight=(*ht)[s1].weight+(*ht)[s2].weight;
printf("%d (%d, %d)\n",(*ht)[i].weight,(*ht)[s1].weight,(*ht)[s2].weight);
}
printf("\n");
}
//从叶子结点到根，逆向求每个叶子结点对应的哈夫曼编码
void CrtHuffmanCode(HuffmanTree *ht, HuffmanCode *hc, int n)
{
char *cd; //定义的存放编码的空间
int a[100];
int i,start,p,w=0;
unsigned int c;
hc=(HuffmanCode *)malloc((n+1)*sizeof(char *)); //分配n个编码的头指针
cd=(char *)malloc(n*sizeof(char)); //分配求当前编码的工作空间
cd[n-1]='\0'; //从右向左逐位存放编码，首先存放编码结束符
for(i=1; i<=n; i++) //求n个叶子结点对应的哈夫曼编码
{
a[i]=0;
start=n-1; //起始指针位置在最右边
for(c=i,p=(*ht)[i].parent; p!=0; c=p,p=(*ht)[p].parent) //从叶子到根结点求编码
{
if( (*ht)[p].LChild==c)
{
cd[--start]='1'; //左分支标1
a[i]++;
}
else
{
cd[--start]='0'; //右分支标0
a[i]++;
}
}
hc[i]=(char *)malloc((n-start)*sizeof(char)); //为第i个编码分配空间
strcpy(hc[i],&cd[start]); //将cd复制编码到hc
}
free(cd);
for(i=1; i<=n; i++)
printf(" 权值为%d的哈夫曼编码为：%s\n",(*ht)[i].weight,hc[i]);
for(i=1; i<=n; i++)
w+=(*ht)[i].weight*a[i];
printf(" 带权路径为：%d\n",w);
}
int main()
{
HuffmanTree HT;
HuffmanCode HC;
int *w,i,n,wei;
printf("**哈夫曼编码**\n" );
printf("请输入结点个数：" );
scanf("%d",&n);
w=(int *)malloc((n+1)*sizeof(int));
printf("\n输入这%d个元素的权值:\n",n);
for(i=1; i<=n; i++)
{
printf("%d: ",i);
fflush(stdin);
scanf("%d",&wei);
w[i]=wei;
}
CrtHuffmanTree(&HT,w,n);
CrtHuffmanCode(&HT,&HC,n);
}
4.运行结果
5.算法分析
霍夫曼编码的时间算法复杂度为：O(nlogn);
6.经验归纳与总结
（1）哈夫曼编码的平均码长要比等长编码短。由此操作码得以优化。
（2）哈夫曼二叉树的构造为左1右0。
（3）因程序中权值设置为整型，故若输入权值中有小数，请经所有数乘以10^n倍，将其转换成整型集合。
哈夫曼编码算法：每次将集合中两个权值最小的二叉树合并成一棵新二叉树，n-1次合并后，成为最终的一棵哈夫曼树。这既是贪心法的思想：从某一个最初状态出发，根据当前的局部最优策略，以满足约束方程为条件，以使目标函数最快（或最慢）为原则，在候选集合中进行一系列的选择，以便尽快构成问题的可行解。每次选择两个权值最小的二叉树时，规定了较小的为左子树。