感知机-收敛性证明及代码实现

一、感知机原理

感知机是最简单的线性二分类模型，如果要处理的数据是线性可分的，则该模型能取得很好的效果，如果数据不是线性可分的，则该模型不能取得很好的效果。以二维平面为例，如果要分类的点，能被一条直线分开，直线的一侧是正类，直线的另一侧是负类，则说明数据是线性可分的。如果数据需要一个圆来分开则说明数据不是线性可分的，曾经感知机因为不能处理异或问题，而被人批判，导致神经网络的研究停滞了几十年。

1.1 感知机形式

感知机就是为了确定一条直线WX+b，让直线的一侧为正类，直线的另一侧是负类。当WX+b运算大于0时为+1，WX+b运算小于0时为-1，为此引入了sign函数。

$sign(x) =\left\{ \begin{matrix} +1 & x<=0 \\ -1 & x>0 \end{matrix}\right.$

1.2感知机学习过程

感知器的训练过程就是确定W,b，从而确定一个平面分离正类和负类。训练过程中，我们需要注意的是那些被误分类的点，比如，本来是正类，却被感知机分成了负类。下面的式子是判断该点是否被误分类：

$-\frac{1}{||w||}y_{i}(W\cdot X+b)>0$

如果WX+b>0,y为-1，则整个式子大于0，该点被误分类。如果WX+b>0,y为+1，整个式子小于0，被正确分类。

如果不考虑1/||W||，上面的式子则是感知机的损失函数。如果有N个点，则损失函数为如下：

$-\sum y_{i}(W\cdot X+b)>0$

对于给定的训练集T，求解参数W,b的过程就是求解损失函数极小值的过程。

$min L(w,b) = -\sum y_{i}(W\cdot X+b)$

感知器的算法是由误分类确定的，首先选取一个超平面W0,b0,采用随机梯度下降法最小化上面的式子，梯度为：

整个感知器的运算流程如下：

1.3感知机收敛性证明

二、感知机编码实现

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import load_iris

我们用的数据集是iris数据集，这个数据集是用来给花做分类的数据集，每个样本包括了花萼长度、花萼宽度、花瓣长度、花瓣宽度四个特征，通过这四个特征来将花分为山鸢尾、变色鸢尾还是维吉尼亚鸢尾。本次我只抽取一部分数据做二分类。

#读取iris数据集，并将数据，标签存入DataFrame中，
iris = load_iris()
raw_data = iris.data
data = pd.DataFrame(raw_data,columns=iris.feature_names)
data['label'] = iris.target

显示data数据集如下所示：

data_array = np.array(data.iloc[:100,[0,1,-1]])
X,Y = data_array[:,:-1],data_array[:,-1]
Y = np.array([1 if i ==1 else -1 for i in Y]) #将标签为0,1，变为-1，+1

将data中第一列、第二列作为特征存入X中，data最后一列作为标签存入Y中。

plt.scatter(X[:50,0],X[:50,1],label='0')
plt.scatter(X[50:100,0],X[50:100,1],label='1')
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('sepal width')
plt.legend()
plt.show()

X中数据显示如下

#定义sign函数
def sign(X,W,b):
    return np.dot(W,X) + b

#遍历数据集
def train(X,Y,W,b,learning_rate=0.1):
    for i in range(len(X)):
        if(Y[i]*sign(X[i],W,b)<=0):
            W = W + learning_rate*Y[i]*X[i]
            b = b + learning_rate*Y[i]
    
    return W,b

将数据集遍历1000遍，每100次打印一下W,b值
W = np.zeros([1,2])
b = 0
for i in range(1000):
    W,b = train(X,Y,W,b)
    if(i%100==0):
        print(i,W,b)

x_ = np.linspace(4,7,10)
y_ =-(W[0][0]*x_ + b)/W[0][1]
plt.plot(x_,y_)
plt.scatter(X[:50,0],X[:50,1],label='0')
plt.scatter(X[50:100,0],X[50:100,1],label='1')
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('sepal width')
plt.legend()
plt.show()

将超平面画出来，如下