uoj50【UR#3】链式反应

• 题解：

  • 令$a(x)$为破坏死光的$EFG$,$f(x)$为方案的$EGF$：$f(x) = x + \int \  \frac{1}{2} f^2(x) a(x) \  dt$;
  • 注意到$f(0)=0$，所以考虑如何解：$f'(x) =  \frac{1}{2} a(x) f(x)^2 + 1$
  • 设$g(f) = 1 + \frac{1}{2}af^2$，即求解$f' = g(f)$;
  • 主要思想是牛顿迭代，假设已经求得$f  \equiv f_{0}   \pmod {x^{n}} $：
  • 泰勒展开得：$f' \equiv g(f_{0}) + g'(f_{0})(f - f_{0}) \pmod {x^{2n}} $
  • $f' - g'(f_{0})f \equiv g(f_{0}) - g'(f_{0})f_{0} $
  • 进一步令：$r \equiv e ^ {\int \  - g'(f_{0}) \ dt}$，（注意有$r' = -g'(f_{0}) r$）
  • 两边同时乘以$r$ 得到：
  • $f'r - fr' \equiv  (g(f_{0}) - g'(f_{0})f_{0}) r$
  • $(fr)' \equiv (g(f_{0}) - g'(f_{0})f_{0}) r$
  • $ f \equiv \frac{  \int \  (1 - \frac{1}{2}af_{0}^{2})r \ dt }{r} \pmod {x^{2n}}$
  • 就可以求了；

  1 #include<bits/stdc++.h>
  2 #define mod 998244353
  3 #define Run(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
  4 #define Don(i,l,r) for(int i=l;i>=r;--i)
  5 const int N=1<<19;
  6 using namespace std;
  7 int n,a[N],fac[N],ans[N];
  8 char s[N],ps[1000000],*pp=ps;
  9 int pw(int x,int y){
 10     if(y<0)y+=mod-1;
 11     int re=1;
 12     for(;y;y>>=1,x=1ll*x*x%mod)if(y&1)re=1ll*re*x%mod;
 13     return re;
 14 }
 15 void push(char x){
 16     if(pp==ps+1000000)fwrite(ps,1,1000000,stdout),pp=ps;
 17     *pp++=x;
 18 }
 19 void write(int x){
 20     static int top,sta[20];
 21     if(!x){push('0'),push('\n');return;}
 22     while(x)sta[++top]=x%10,x/=10;
 23     while(top)push(sta[top--]^'0');
 24     push('\n');
 25 }
 26 void flush(){fwrite(ps,1,pp-ps,stdout);}
 27 namespace poly{
 28     int g=3,iv[N],rev[N],L;
 29     void init(int l){for(int i=1;i<=l;++i)iv[i]=pw(i,mod-2);}
 30     void cls(int*A,int l,int r){for(int i=l;i<r;++i)A[i]=0;}
 31     void cpy(int*A,int*B,int l){for(int i=0;i<l;++i)A[i]=B[i];}
 32     void der(int*A,int l){Run(i,0,l-2)A[i]=1ll*(i+1)*A[i+1]%mod;A[l-1]=0;}
 33     void dif(int*A,int l){Don(i,l-1,1)A[i]=1ll*iv[i]*A[i-1]%mod;A[0]=0;}
 34     void ntt(int*A,int l,int f){
 35         for(L=0;(1<<L)<l;++L);
 36         for(int i=0;i<l;++i){
 37             rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
 38             if(i<rev[i])swap(A[i],A[rev[i]]);
 39         }
 40         for(int i=1;i<l;i<<=1){
 41             int wn=pw(g,f*(mod-1)/(i<<1));
 42             for(int j=0;j<l;j+=i<<1){
 43                 int w=1;
 44                 for(int k=0;k<i;++k,w=1ll*w*wn%mod){
 45                     int x=A[j+k],y=1ll*w*A[j+k+i]%mod;
 46                     A[j+k]=(x+y)%mod,A[j+k+i]=(x-y+mod)%mod;
 47                 }
 48             }
 49         }
 50         if(!~f){for(int i=0;i<l;++i)A[i]=1ll*A[i]*iv[l]%mod;}
 51     }
 52     void inv(int*A,int*B,int l){
 53         static int t[N];
 54         if(l==1){B[0]=pw(A[0],mod-2);return;}
 55         int len=l<<1;
 56         inv(A,B,l>>1);cls(B,l,len);
 57         cpy(t,A,l);cls(t,l,len);
 58         ntt(t,len,1);ntt(B,len,1);
 59         for(int i=0;i<len;++i)B[i]=1ll*B[i]*(2-1ll*t[i]*B[i]%mod+mod)%mod;
 60         ntt(B,len,-1);cls(B,l,len);
 61     }
 62     void ln(int*A,int*B,int l){
 63         static int t[N];
 64         int len=l<<1;
 65         inv(A,B,l);
 66         cpy(t,A,l);cls(t,l,len);
 67         der(t,l);
 68         ntt(B,len,1);ntt(t,len,1);
 69         for(int i=0;i<len;++i)B[i]=1ll*B[i]*t[i]%mod;
 70         ntt(B,len,-1);cls(B,l,len);
 71         dif(B,l);
 72     }
 73     void exp(int*A,int*B,int l){
 74         static int t[N];
 75         if(l==1){B[0]=1;return;}
 76         int len=l<<1;
 77         exp(A,B,l>>1);cls(B,l,len);
 78         ln(B,t,l);
 79         for(int i=0;i<l;++i)t[i]=(A[i]-t[i]+mod)%mod;
 80         t[0]++;
 81         ntt(B,len,1);ntt(t,len,1);
 82         for(int i=0;i<len;++i)B[i]=1ll*B[i]*t[i]%mod;
 83         ntt(B,len,-1);cls(B,l,len);
 84     }
 85     void solve(int*A,int l){
 86         static int t[N],r[N];
 87         if(l==1){A[0]=0;return;}
 88         int len=l<<1;
 89         solve(A,l>>1);cls(A,l,len);
 90         cpy(t,a,l);cls(t,l,len);
 91         ntt(A,len,1);ntt(t,len,1);
 92         for(int i=0;i<len;++i){
 93             int tmp=A[i];
 94             A[i]=(mod-1ll*iv[2]*t[i]%mod*A[i]%mod*A[i]%mod)%mod;
 95             t[i]=(mod-1ll*t[i]*tmp%mod)%mod;
 96         }
 97         ntt(A,len,-1);cls(A,l,len);A[0]++;
 98         ntt(t,len,-1);cls(t,l,len);dif(t,l);
 99         exp(t,r,l);inv(r,t,l);
100         ntt(A,len,1);ntt(r,len,1);
101         for(int i=0;i<len;++i)A[i]=1ll*A[i]*r[i]%mod;
102         ntt(A,len,-1);cls(A,l,len);
103         dif(A,l);
104         ntt(A,len,1);ntt(t,len,1);
105         for(int i=0;i<len;++i)A[i]=1ll*A[i]*t[i]%mod;
106         ntt(A,len,-1);cls(A,l,len);
107     }
108 }
109 int main(){
110 //    freopen("uoj50.in","r",stdin);
111 //    freopen("uoj50.out","w",stdout);
112     scanf("%d%s",&n,s+1);
113     for(int i=fac[0]=1;i<=n;++i){
114         fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
115         if(s[i]-'0')a[i-1]=pw(fac[i-1],mod-2);
116     }
117     int len=1;for(;len<=n;len<<=1);
118     poly::init(len<<1);
119     poly::solve(ans,len);
120     for(int i=1;i<=n;++i)write(1ll*ans[i]*fac[i]%mod);
121     flush(); 
122     return 0;
123 }

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