P1091 合唱队形
题目描述
N位同学站成一排，音乐老师要请其中的(N−K)位同学出列，使得剩下的K位同学排成合唱队形。
合唱队形是指这样的一种队形：设K位同学从左到右依次编号为1,2,…,K，他们的身高分别为T1,T2,…,TK， 则他们的身高满足T1<...<Ti>Ti+1>…>TK(1≤i≤K)。
你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。
输入输出格式
输入格式：
共二行。
第一行是一个整数N(2≤N≤100)，表示同学的总数。
第二行有n个整数，用空格分隔，第i个整数Ti(130≤Ti≤230)是第i位同学的身高(厘米)。
输出格式：
一个整数，最少需要几位同学出列。
输入输出样例
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8
186 186 150 200 160 130 197 220
输出样例#1： 复制
4
说明
对于50％的数据，保证有n≤20；
对于全部的数据，保证有n≤100。
思路：
根据题意
//186 186 150 200 160 130 197 220
// 186 200 160 130 出列之后的合唱队形
这道题的本质就是求一个最大上升序列，和一个最大不上升序列
动态规划的特点就是当前解可以由上一个阶段的解推出， 由此，把我们要求的问题简化成一个更小的子问题。子问题具有相同的求解方式，只不过是规模小了而已。最长上升子序列就符合这一特性。我们要求n个数的最长上升子序列，可以求前n-1个数的最长上升子序列，再跟第n个数进行判断。求前n-1个数的最长上升子序列，可以通过求前n-2个数的最长上升子序列……直到求前1个数的最长上升子序列，此时LIS当然为1。
举个栗子：求 2 7 1 5 6 4 3 8 9 的最长上升子序列。我们定义d(i) (i∈[1,n])来表示前i个数以A[i]结尾的最长上升子序列长度。
前1个数 d(1)=1 子序列为2；
前2个数 7前面有2小于7 d(2)=d(1)+1=2 子序列为2 7
前3个数 在1前面没有比1更小的，1自身组成长度为1的子序列 d(3)=1 子序列为1
前4个数 5前面有2小于5 d(4)=d(1)+1=2 子序列为2 5
前5个数 6前面有2 5小于6 d(5)=d(4)+1=3 子序列为2 5 6
前6个数 4前面有2小于4 d(6)=d(1)+1=2 子序列为2 4
前7个数 3前面有2小于3 d(3)=d(1)+1=2 子序列为2 3
前8个数 8前面有2 5 6小于8 d(8)=d(5)+1=4 子序列为2 5 6 8
前9个数 9前面有2 5 6 8小于9 d(9)=d(8)+1=5 子序列为2 5 6 8 9
d(i)=max{d(1),d(2),……,d(i)} 我们可以看出这9个数的LIS为d(9)=5
总结一下，d(i)就是找以A[i]结尾的，在A[i]之前的最长上升子序列+1，当A[i]之前没有比A[i]更小的数时，d(i)=1。所有的d(i)里面最大的那个就是最长上升子序列。
代码：
#include<iostream>
using namespace std;
int n;
int a[105];
int lis[105],nolis[105];//分别存储上升序列和非上升序列的长度
int ans; //存储合唱队形的人数
//186 186 150 200 160 130 197 220
// 186 200 160 130
int main()
{
std::ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>a[i];
//先找出最长上升序列的长度（不包括等于）
for(int i=1;i<=n;i++)
{
lis[i]=1;
for(int j=1;j<=i;j++)//上升序列中，a[i]之前的元素一定是更小的
{
if(a[i]>a[j])
{
lis[i]=max(lis[i],lis[j]+1);
}
}
}
//找出最长非上升序列的长度
for(int i=n;i>=1;i--)
{
nolis[i]=1;
for(int j=i+1;j<=n;j++)//非上升序列中，a[i]之后的元素一定是更小的
{
if(a[i]>a[j])
{
nolis[i]=max(nolis[i],nolis[j]+1);
}
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)//注意要减一，因为上升序列和非上升序列的最大长度和一定重合于一个人上
ans=max(ans,lis[i]+nolis[i]-1);
cout<<n-ans<<endl;
return 0;
}