day1
hdu 5917
偏序和等价关系：link
二项式系的基本恒等式：
\(\dbinom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}\)
\(\dbinom{n}{k}=\dbinom{n}{n - k}\)
\(\dbinom{n}{k} = \dbinom{n - 1}{k} + \dbinom{n - 1}{k - 1}\)
\(\dbinom{n}{0}=1\)，\(\dbinom{n}{n}=1\)
\(\dbinom{n}{0} + \dbinom{n}{1} + ....\dbinom{n}{n} = 2^n\)
day2
二项式定理：
\((x+y)^n = \sum_{k = 0}^n\dbinom{n}{k}x^{n-k}y^k\)
可以用组合推理证明,也可以用数学归纳法.
二项式定理的等价形态：
\((x+y)^n = \sum_{k = 0}^n\dbinom{n}{n - k}x^{n-k}y^k\)
\((x+y)^n = \sum_{k = 0}^n\dbinom{n}{n - k}x^{k}y^{n - k}\)
\((x+y)^n = \sum_{k = 0}^n\dbinom{n}{n - k}x^{k}y^{n - k}\)
\((1 + x)^n = \sum_{k = 0}^n\dbinom{n}{k}x^k = \sum_{k = 0}^n\dbinom{n}{n - k}x^k\)
\(k\dbinom{n}{k} = n\dbinom{n - 1}{k - 1}\)
\(\dbinom{n}{0} + \dbinom{n}{1}+\dbinom{n}{2}+...\dbinom{n}{n} = 2^n\)
\(\dbinom{n}{0} - \dbinom{n}{1} + \dbinom{n}{2} -...+(-1)^n\dbinom{n}{n} = 0\)
\(\dbinom{n}{0} + \dbinom{n}{2} + ... = \dbinom{n}{1} + \dbinom{n}{3} + ....\)
\(\dbinom{n}{0} + \dbinom{n}{2} + ... = 2^{n - 1}\)
\(\dbinom{n}{1} + \dbinom{n}{3} + ... = 2^{n - 1}\)
还有一些关于导数的恒等式咕了,因为我不会微积分
范德蒙卷积公式：link
对于\(\dbinom{n}{m} = \dbinom{n - 1}{m} + \dbinom{n - 1}{m - 1}\)这个式子，将最后一个式子反复使用。
导出这个式子
\(\dbinom{r}{0} + \dbinom{r + 1}{1}+....+\dbinom{r + k}{k} = \dbinom{r + k + 1}{k}\)
将第一个式子反复使用
导出
\(\dbinom{n+1}{k+1} = \sum_{i=0}^{n}\dbinom{i}{k}\)
可以用连续两个二项式的商证明，同一行(帕斯卡三角形中)的二项式系数具有单峰性.
最大值为 \(\dbinom{n}{\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor}\)
有一个扩展就是Sperner定理，
可以证明：S的一个反链至多包含\(\dbinom{n}{\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor}\)个集合
你作为一个学生 应该更关心怎么解题，这是你唯一能控制的东西 你去关心那些你根本控制不了的东西 比如高考政策，分数线什么的 纯粹是浪费时间 看上去你下了很多功夫，指点江山咒这个骂那个 其实一点卵用都没有，你一分都涨不了