【DP】【前缀和优化】2019雅礼集训 Inverse

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题目：

给出一个排列，随机选择K个区间，依次翻转这些区间，求翻转后逆序对的期望个数。

分析：

窝草。。。原来逆序对还能有算贡献的方法。

自己跟着题解推一遍之前，完全不觉得这样可做。。。

定义 $Dp(i,j,k)$表示在经过k次变化后， $P_i<P_j$的概率。

转移有点麻烦：

要分四种情况讨论：
1、 $l\leq i\leq r<j$，这种情况需要把转移式列出来，然后发现是二次前缀和。
2、 $i<l\leq j\leq j$，同上，只需要把转移式里的 $i$改为 $n-i+1$， $j$改为 $n-j+1$
3、 $i<l\leq r<j或r<i或l>j$，这种情况不影响他们的位置，只需统计多少种可能的方案即可。
4、 $l\leq i<j\leq r$，这种情况比较麻烦，需要定义一个 $g(i,j)=Dp(i,i+j,k)$，然后可以发现转移式可以表示为 $g(i,j)$的二次前缀和。

具体看代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define SF scanf
#define PF printf
#define MAXN 510
#define MAXK 55
#define MOD 1000000007
using namespace std;
typedef long long ll;
int a[MAXN];
ll f[MAXN][MAXN][MAXK],s1[MAXN],s2[MAXN];
inline ll get_num(ll x){
	return x*(x+1ll)/2ll;	
}
ll fsp(ll x,int y){
	ll res=1;
	while(y){
		if(y&1)
			res=res*x%MOD;
		x=x*x%MOD;
		y>>=1;
	}
	return res;
}
int main(){
	int n,k;
	SF("%d%d",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		SF("%d",&a[i]);
	for(register int i=1;i<=n;i++)
		for(register int j=i+1;j<=n;j++)
			f[i][j][0]=(a[i]>a[j]);
	ll inv=fsp(get_num(n),MOD-2);
	for(register int k1=1;k1<=k;k1++){
		for(register int i=1;i<=n;i++)
			for(register int j=i+1;j<=n;j++)
				f[i][j][k1]=f[i][j][k1-1]*(get_num(i-1)+get_num(n-j)+get_num(j-i-1))%MOD;
		for(register int j=1;j<=n;j++){
			for(register int i=1;i<j;i++){
				s1[i]=s1[i-1]+f[i][j][k1-1];
				if(s1[i]>=MOD) s1[i]-=MOD;
				s2[i]=s2[i-1]+s1[i];
				if(s2[i]>=MOD) s2[i]-=MOD;
			}
			for(register int i=1;i<j;i++)
				f[i][j][k1]+=(s2[j-1]-s2[j-i-1]-s2[i-1]);
		}
		for(register int i=1;i<=n;i++){
			for(register int j=n;j>i;j--){
				s1[n-j+1]=s1[n-j]+f[i][j][k1-1];
				if(s1[i]>=MOD) s1[i]-=MOD;
				s2[n-j+1]=s2[n-j]+s1[n-j+1];
				if(s2[i]>=MOD) s2[i]-=MOD;
			}
			for(register int j=i+1;j<=n;j++)
				f[i][j][k1]+=(s2[n-i]-s2[j-i-1]-s2[n-j]);
		}
		for(register int j_i=1;j_i<=n;j_i++){
			for(register int i=1;i+j_i<=n;i++){
				s1[i]=s1[i-1]+(MOD+1-f[i][i+j_i][k1-1]);
				if(s1[i]>=MOD) s1[i]-=MOD;
				s2[i]=s2[i-1]+s1[i];
				if(s2[i]>=MOD) s2[i]-=MOD;
			}
			for(register int i=1;i+j_i<=n;i++)
				f[i][i+j_i][k1]+=(s2[n-j_i]-s2[n-j_i-i]-s2[i-1]);
		}
		for(register int i=1;i<=n;i++)
			for(register int j=i+1;j<=n;j++){
				f[i][j][k1]=(f[i][j][k1]%MOD)*inv%MOD;
				if(f[i][j][k1]<MOD)
					f[i][j][k1]+=MOD;
			}
	}
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			ans=(ans+f[i][j][k])%MOD;
	ans=(ans+MOD)%MOD;
	PF("%lld",ans);
}