一、01 背包问题

01 背包问题描述：有 n 件物品，每件的重量为 w[i] ，价值为 c[i] 。现有一个容量为 V 的背包，问如何选取物品放入背包，使得背包内物品的总价值最大。其中每件物品都只有 1 件。
暴力解法的时间复杂度为 $O\left ( 2^{n} \right )$ ，利用动态规划时间复杂度可降为 $O\left ( nV \right )$ 。
令 dp[i][v] 表示前 i 件物品（1 <= i <= n, 0 <= v <= V）恰好装入容量为 v 的背包中所能获得的最大价值。在求解 dp[i][v] 时，考虑第 i 件物品的选择，有两种策略：①不放第 i 件物品，那么问题转化为前 i-1 件物品恰好装入容量为 v 的背包中所能获得的最大价值，也即 dp[i-1][v]。②放第 i 件物品，那么问题转化为前 i-1 件物品恰好装入容量为 v-w[i] 的背包中所能获得的最大价值，也即 dp[i-1][v-w[i]]+c[i]。由于只有这两种策略，且要求获得最大价值，因此 $dp[i][v]=max\left \{ dp[i-1][v],dp[i-1][v-w[i]]+c[i] \right \}\left ( 1\leqslant i\leqslant n,w[i]\leqslant v\leqslant V \right )$ ，此即为状态转移方程。边界为 $dp[0][v]=0\left ( 0\leqslant v\leqslant V \right )$ 。因此可以写出代码如下。

for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int v = w[i]; v <= V; v++)
        dp[i][v] = max(dp[i - 1][v], dp[i - 1][v - w[i]] + c[i]);

可以知道时间复杂度和空间复杂度都是 $O\left ( nV \right )$ ，其中时间复杂度已无法再优化，但是空间复杂度还可以再优化。
注意到状态转移方程中计算 dp[i][v] 时需要计算 dp[i-1][0]~dp[i-1][v-w[i]] 中的最大值，而计算 dp[i+1][v] 时又需要计算 dp[i][0]~dp[i][v-w[i]] 中的最大值，dp[i-1][] 部分的数据又完全用不到了，因此可以直接开一个一维数组 dp[v]，枚举方向为 i 从 1 到 n，v 从 V 到 0（逆序），这样状态转移方程改变为 $dp[v]=max\left ( dp[v],dp[v-w[i]]+c[i] \right )\left ( 1\leqslant i\leqslant n,w[i]\leqslant v\leqslant V \right )$ ，边界为 $dp[v]=0\left ( 0\leqslant v\leqslant V \right )$ 。空间复杂度降为 $O\left ( V \right )$ ，代码如下。

for (int i = 1; i <= n; i++)
	for (int v = V; v >= w[i]; v--)
		dp[v] = max(dp[v], dp[v - w[i]] + c[i]);

一般对能够划分阶段的问题，都可以尝试把阶段作为状态的一维，这可以使我们更方便地得到满足无后效性的状态。如果当前设计的状态不满足无后效性，那么不妨把状态升维，即增加一维或若干维来表示相应的信息，这样可能就能满足无后效性了。

二、完全背包问题

完全背包问题描述：有 n 件物品，每件的重量为 w[i] ，价值为 c[i] 。现有一个容量为 V 的背包，问如何选取物品放入背包，使得背包内物品的总价值最大。其中每种物品都有无穷件。
和 01 背包一样，完全背包问题的每种物品都有两种策略，但是也有不同点。对第 i 件物品来说：①不放第 i 件物品，那么 dp[i][v] =dp[i-1][v]，这跟 01 背包是一样的；②放第 i 件物品，这里的处理和 01 背包有所不同。完全背包选择放第 i 件物品之后并不是转移到 dp[i-1][v-w[i]，而是转移到 dp[i][v-w[i]]，这是因为每种物品可以放任意件，放了第 i 件物品后还可以继续放第 i 件物品，直到第 v-w[i] 小于 0 为止。因此状态转移方程为： $dp[i][v]=max\left \{ dp[i-1][v],dp[i][v-w[i]]+c[i] \right \}\left ( 1\leqslant i\leqslant n,w[i]\leqslant v\leqslant V \right )$ ，边界为 $dp[0][v]=0\left ( 0\leqslant v\leqslant V \right )$ 。
同样也可以改写成一维形式的状态转移方程： $dp[v]=max\left ( dp[v],dp[v-w[i]]+c[i] \right )\left ( 1\leqslant i\leqslant n,w[i]\leqslant v\leqslant V \right )$ ，边界为 $dp[v]=0\left ( 0\leqslant v\leqslant V \right )$ 。写成一维形式之后和 01 背包完全相同，唯一的区别在于这里 v 的枚举顺序是正向枚举，而 01 背包的一维形式中 v 必须是逆向枚举。完全背包的一维形式代码如下。

for (int i = 1; i <= n; i++)
	for (int v = w[i]; v <= V; v++)
		dp[v] = max(dp[v], dp[v - w[i]] + c[i]);

[1] 胡凡,曾磊.算法笔记[M].机械工业出版社,2016:465.