fec基础

昨天休息了一下，思考一下可以研究的点，觉得这个fec还可以，就找了一点资料研究一下。
先跑点题，闲扯一会。在找资料的过程中，能找到的资料就很少，就有点感叹。科研为什么弱呢? 可以看下90年代的论文，那水平略等于今天的一篇博客。这是积贫积弱到现在。
[1]中有段代码，求解伽罗华域的生成空间的。举的例子是GF(256)，使用的本原多项式 $P(x)=x^8+x^5+x^3+x^2+1$ 。伽罗华域上的多项式乘法，其结果需要mod P(x)，可以通过以下方式简化计算。首先，考虑 $x^8$ ， $x^8 mod P(x) = P(x) – x^8 = x^5 + x^3 +x^2 +1$ 。这个可以使用二进制数表示, 就是 $x^8$ 可以使用0b101101表示。而 $x^9=x^8*x$ ，就是对应的将 $x^8$ 二进制数据左移一位得到 $x^9$ 。但是 $x^{11}=x^{10}*x=x^8+x^6+x^5+x^3$ ，最高位的 $x^8$ 被$ x^5+ x^3 +x^2 +1 $表示，就是代码里的alphaToMM,剩下的就是$ (alphaTo[i-1]&0xEF)<<1)=(alphaTo[i-1]^128)<<1) $，但是还需要整理，系数为偶数的项置零，这里的加法就是异或运算，就是代码中给出的计算方法。当$ alphaTo[i-1]>128 $时，$ alphaTo[i]=alphaTo[MM]^(alphaTo[i-1]^128)<<1)$

生成元素	多项式表示	二进制表示
0	$x^0$	0b00000000
$x^1$	$x^1$	0b00000001
$x^2$	$x^2$	0b00000010
…	…	…
$x^7$	$x^7$	0b10000000
$x^8$	$ x^5 + x^3 +x^2 +1$	0b00101101
$x^9$	$x^6+x^4+x^3+x$	0b01011010
$x^{10}$	$x^7+x^5+x^4+x^2$	0b10110100

int MM = 8;
int NN = 255;
int alphaToMM = 45;//α^8=α^5+α^3+α^2+1
int* alphaTo = new int[NN+1];
int* expOf = new int[NN+1];

alphaTo[MM] = alphaToMM;
expOf[alphaToMM] = MM;
alphaTo[NN] = 0;
expOf[0] = NN;

int i, shift;
shift = 1;
for(i=0; i<MM; i++){
    alphaTo[i] = shift;//2^i
    expOf[alphaTo[i]] = i;
    shift <<= 1;
}
shift = 128;
for(i=MM+1; i<NN; i++){
    if(alphaTo[i-1] >= shift){
        alphaTo[i] = alphaTo[MM] ^ ((alphaTo[i-1]^shift)<<1);//alphaTo[i-1]*alpha+alpha^8
    }else{
        alphaTo[i] = alphaTo[i-1]<<1;
    }
    expOf[alphaTo[i]] = i;
}

[1]伽罗华域运算
[2]伽罗华域（Galois Field）上的四则运算
[3]GF(256) table https://codyplanteen.com/assets/rs/gf256_log_antilog.pdf

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