3194. 【HNOI模拟题】化学（无标号有根树、无根树计数）

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https://jzoj.net/senior/#main/show/3194

Problem

• 求 $n$个点的每个点度数不超过 $4$的无标号无根树个数.

Data constraint

• $1\le n\le 500$

Solution

• 尝试着把问题一般化。我们来考虑一个这样的问题：求 $n$个节点，每个节点度数不超过 $m$的无根树个数。

• 为了解决这个问题，我们不妨先来解决有根树的情况。注意这里的树都是无标号的。所以每一种合法树的根的子树的 $size$都可以看做是单调的。然而无根树的计数实在很麻烦。例如在无根树中以下两种情况视作同一种：
  

• 而在有根树情况下，这两种方案显然是不一样的。

• 但注意，对于有根树这两种情况也是一样的：

• 所以转化成有根树，我们可以更方便的进行DP。并且通过上面这两幅图我们发现唯一需要注意的是子树 $size$的关系。

• 不妨令 $f_{i,j}$表示当前根节点度为 $j$，总共有 $i$个节点时的方案数。此外，我们理应记录一下当前子树的最大 $size$，然后每次枚举个更大的 $size$去尝试着转移。但实质上我们可以不用记录，我们直接从小到大枚举这个 $size$，然后尝试转移.

• 枚举当前最大子树的个数 $k$，令 $s=\sum^{m−1}_{k=0}f(size,k)$，我们不难写出这样一个式子： $f(i,j)=\sum_{k}f(i−size×k,j−k)\left\{ \begin{matrix}s+k-1\\k \end{matrix} \right\}$

• 其中 $\left\{ \begin{matrix}s+k-1\\k \end{matrix} \right\}$表示的是在 $s$个盒子中放 $k$个球，盒子不同，球相同，可以重复放的方案。这正好符合我们的要求。不难发现，我们这样枚举的 $size$一定可以保证子树是单调的，那么避免了算重。

• 解决了有根树，我们现在来考虑无根树的问题。事实上，有一个极其巧妙且重要的性质：两颗无根树同构，则以它们重心为根的有根树同构

• 那么我们就只需保证 $size\le (n-1)>>1$即可。唯一需要注意的是，当一棵树有两个重心的时候，我们的 $size$都是小于 $\frac{n}{2}$的，所以我们要特殊处理一下两个 $size=\frac{n}{2}$的拼接，这也同样是一个组合数。