【数论】[51Nod 1236] 序列求和 V3【无实现】

Description

求斐波那契数列前N项的K次方和
N<=10^18,K<=100000
答案对1000000009取模

Solution

考虑斐波那契通项公式

$$F(i)={1 \over \sqrt 5}[({1+\sqrt 5\over 2})^i-({1-\sqrt 5\over 2})^i]$$

设$a={1+\sqrt 5\over 2},b={1-\sqrt 5\over 2}$

相应的做K次幂，对后面二项式定理展开

$$\sum\limits_{j=0}^k C_k^j(a^i)^j(-b^i)^{k-j}$$

我们把a和b的指数j移到内层，i移出来

对于相同的系数$(-1)^{k-j}C_k^j$，我们发现它是以$a^jb^{k-j}$为公比的等比数列

5是1e9+9的二次剩余，相当于解二次同余方程

预处理好a和b的幂次
那么直接枚举j，用等比数列求和计算

另外有一个小Tips是a*b=-1