LGP4588[JSOI2018]扫地机器人

题解
- 需要先说明一点东西：
- 1
  - 同一副对角线方向相同,共有$gcd(n,m)$条不同的副对角线，机器人的行为是一个$gcd(n,m)$的循环；；
  - 如果左上方是$(1,1)$,容易看出所有的路径是从左或上面连向右或下面并且紧密排列，所以所有副对角线上方向相同；
  - 有些副对角线是间隔开的只需要将网格重复几次，那么一条副对角的特征就可以用$x+y+kn+km$
  - 由斐蜀定理可知一共有$gcd(n,m)$条；
  - 并且每次一定是从一条对角线$x$走向对角线$x+1$,所以循环节为$gcd(n,m)$
- 2
  - $n*m$的一种矩形，记$d=gcd(n,m)$，$d_{x}$为$d$步中向下走的步数，$d_{y}$为向右走的步数，一种方案合法当且仅当$$d_{x}+d_{y}=d$, gcd(d_{x},n)=gcd(d_{y},m)=1$$
  - 2.1 充分性：
  - 考虑一个格子在不同的循环节内的位置：$(x+kd_{x} , y+kd_{y})$
  - 由于$gcd(d_{x},n)=gcd(d_{y},m)=1$，所以$x$的循环节长度是$n$,$y$的循环节长度是$m$，同时循环节内元素互不相同，所以$(x,y)$的循环节长度是$lcm(n,m)$
  - 所以棋盘一定会被分成$\frac{nm}{lcm(n,m)} = gcd(n,m)$个类;
  - 考虑在同一个循环节内的不同位置:$(x_{i},y_{i})$和$(x_{j},y_{j})$
  - 记$\delta x = abs(x_{i}-x_{j}) , \delta y = abs(y_{i}-y_{j}) $
  - 必有$\delta x < d_{x} \ || \ \delta y < d_{y} $发生，所以$(x_{i},y_{i})$和$(x_{j},y_{j})$一定不同类；
  - 由于$d_{x}+d_{y}=d$，所以这就有了所以$d$个类即可以将棋盘完全覆盖；
  - 2.2 必要性：
  - 由斐蜀定理可知在任意$gcd$不为$1$的时候有些坐标是没法表示的，所以肯定也走不到；
- 现在可以求方案了，考虑如何求步数和：
- 枚举满足的$d_{x}$和$d_{y}$
- 枚举撞到障碍的轮数$l$，得到起点$(x_{l},y_{l})$；
- 可以将前$l$轮和前$l-1$的障碍全部分别映射到$(x_{l},y_{l}) , (x_{l}+d_{x}+1,y_{l}+d_{y}+1)$的矩形中；
- 现在需要找到每一条在前$l-1$轮不停下在$l$轮停下的路径；
- 枚举第$l$轮的障碍，前$l$轮图上从起点到最后一个非障碍点的路径 *前$l-1$图上障碍点到终点的路径即可；
- 分别在出处理好的前$l$和前$l-1$的图上做两个普通路径计数$dp$即可；

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define mod 998244353
 3 using namespace std;
 4 const int N=110;
 5 int n,m,mp[2][N][N],f[2][N][N],ans;
 6 char s[N][N];
 7 void upd(int&x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
 8 int gcd(int a,int b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
 9 int main(){
10     #ifndef ONLINE_JUDGE
11     freopen("T2.in","r",stdin);
12     freopen("T2.out","w",stdout);
13     #endif
14     int T;scanf("%d",&T);
15     while(T--){
16         ans=0;
17         scanf("%d%d",&n,&m);
18         for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%s",s[i]+1); 
19         for(int i=1;i<=n<<1;++i)
20         for(int j=1;j<=m<<1;++j)s[i][j]=s[(i-1)%n+1][(j-1)%m+1];
21         int d=gcd(n,m),cur=0;
22         for(int dx=0,dy;dx<=d;++dx){
23             dy=d-dx;
24             if(gcd(dx,n)!=1||gcd(dy,m)!=1)continue; 
25               
26             for(int i=1;i<=dx+1;++i)
27             for(int j=1;j<=dy+1;++j)
28             mp[0][i][j]=mp[1][i][j]=0;
29               
30             for(int l=1,ax=1,ay=1;l<=n*m/d;++l){
31                   
32                 cur^=1;
33                   
34                 for(int i=1;i<=dx+1;++i)
35                 for(int j=1;j<=dy+1;++j)
36                 mp[cur][i][j]=mp[cur^1][i][j]|(s[ax+i-1][ay+j-1]-'0');
37                   
38                 for(int i=1;i<=dx+1;++i)
39                 for(int j=1;j<=dy+1;++j)f[0][i][j]=f[1][i][j]=0;
40                   
41                 if(!mp[cur][1][1]){
42                     f[cur][1][1]=1;
43                     for(int i=1;i<=dx+1;++i)
44                     for(int j=1;j<=dy+1;++j){
45                         if(i!=dx+1&&!mp[cur][i+1][j])upd(f[cur][i+1][j],f[cur][i][j]); 
46                         if(j!=dy+1&&!mp[cur][i][j+1])upd(f[cur][i][j+1],f[cur][i][j]);
47                     }
48                 }
49                   
50                 if(!mp[cur^1][dx+1][dy+1]){
51                     f[cur^1][dx+1][dy+1]=1;
52                     for(int i=dx+1;i;--i)
53                     for(int j=dy+1;j;--j){
54                         if(i!=1&&!mp[cur^1][i-1][j])upd(f[cur^1][i-1][j],f[cur^1][i][j]);
55                         if(j!=1&&!mp[cur^1][i][j-1])upd(f[cur^1][i][j-1],f[cur^1][i][j]);
56                     }
57                 }
58                   
59                 for(int i=1;i<=dx+1;++i)
60                 for(int j=1;j<=dy+1;++j)if(mp[cur][i][j]){ 
61                     int x=0;
62                     if(i!=1)upd(x,f[cur][i-1][j]);
63                     if(j!=1)upd(x,f[cur][i][j-1]); 
64                     int y = f[cur^1][i][j];
65                     upd(ans, 1ll*((l-1)*d+i+j-2)*x%mod*y%mod);
66                 }
67                   
68                 ax=(ax+dx-1)%n+1,ay=(ay+dy-1)%m+1;
69               
70             }
71         }
72         printf("%d\n",ans); 
73     }
74     return 0;
75 }

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2.1 充分性：

2.2 必要性：

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