概念
虚树，顾名思义就是虚构的树，它是一种用来解决树上问题的算法，主要思想是只将原树上必要的点和它们的最近公共祖先取出来，构成一棵虚树，并保留他们在树上的相对关系。
引入
我们先来看一道题:
给定一棵n个点的树，每次询问给定一个大小为k的点集，你需要切掉一些边，使得点集中的点均不与1号点联通，而每条边都有被切掉所需的代价，你还要让总代价最小。\(2 \leqslant n \leqslant 250000,,\sum ki \leqslant 500000,1 \leqslant k_i \leqslant n-1\)
(来源：Bzoj_2286 Sdoi2011消耗战)
对于单个询问，我们可以用Tree_Dp在O(n)的时间内得到答案，这样显然太慢。但是，我们发现实际上询问的总点集大小并不大，如果每次询问能不将整棵树都遍历而只遍历询问的点，那么复杂度就可以降下来了。因此我们需要用到虚树。
构建
构建虚树采取的思路是：将点“从左到右”地添加。
我们先要将树遍历一遍给每个点记一个dfs序，然后将询问点按dfs序排序。
用栈维护一条当前虚树内“最靠右”的一条链，按顺序加点。
假设当前准备加入的点为x,如果当前栈顶不是x的祖先，则弹栈，并向上一个弹出的点（仅在本轮操作中）连边，直到是或栈为空为止，顺便记录弹出的点与点x的最近公共祖先LCA（弹出的所有点与点x的最近公共祖先一定相同）。
将LCA与最后一个弹栈的点连边，之后再判断LCA是否已在栈顶，否则入栈。点x入栈。这样栈中一定是“最靠右”的链。
复杂度\(O（klogn)\)
以下图为例，绿色点表示询问点，蓝色点表示进入虚树的点，红色点表示栈里的点。
加入2号点：
加入4号点：
加入6号点，2和4连边：
加入9号点，2和6连边、1和2连边：
最后再将栈内的1和9连边。
解决
那么我们回到原题，现在知道如何建虚树了，如果解决问题？
首先我们要有一个小技巧，就是对于一个询问点，如果某个询问点是它的祖先，那么就可以把它从询问点中删除。这样询问点之间就没有祖先关系了。我们还需要为每个点记一个值，为它到根（1号点）的路径中最小代价的边，记为\(v_x\)。
那么建出虚树后，我们对于虚树中的叶子节点x，其dp值为\(v_x\)。对于非叶子节点x，dp值为\(min(v_x,\sum dp_{son})\),son为它的直系儿子。
后续
这里还有些用到虚树的题，可供参考。
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