第一次竞赛-A.质数的最大乘积

两个质数的和是S，它们的积最大是多少？

Input

一个不大于10000的正整数S，为两个质数的和。

Output

一个整数，为两个质数的最大乘积。数据保证有解。

Sample Input

Sample Output

#include <stdio.h>
#include <math.h>
int  Iszs(int n)
{
	int i=2;
    while(i<=floor(sqrt(n))&&(n%i!=0))  //floor为向下取整函数，sqrt()求平方根
    i++;
    if(i>floor(sqrt(n)))//若是因为i大于n的平方根而跳出循环，则说明n为质数
    return 1;  
    return 0;
}
int main()
{
    int n;
   int max=-1;
  
    scanf("%d", &n); 
    for(int i=2;i<n;i++){
       if(Iszs(i)&&Iszs(n-i)){
          if(max<i*(n-i))
            max=i*(n-i);
                
       }      
    }
      printf("%d\n",max); 
        
    
       
    return 0;
}

题解：

根据简单的数学原理，两个数的和为S，二者之差越小，则乘积越大。所以要找两个和为S的数字的最大乘积，我们从S/2附近开始找。如果S/2恰能整除，并且S/2是个质数，S/2*S/2就是结果。如果不是，我们再试(S/2)+1与(S/2)-1是否为质数，以此直到试验到一个数最小为2（题目保证有解），或者可以试验到3为止，由于2是质数当中唯一的偶数，可以拿出来单独判断它。
总结此题思路，就是从S/2开始向两边顺序搜索，假设下界lowerbound记为lwbd,上界upperbound叫作upbd,则lwbd=S/2（lwbd是S/2的整除）,upbd=S-lwbd,这样lwbd+upbd==s，再定义一个距离S/2距离的变量d，我们希望尽快找到解，对可能的d，从0开始，遍历到S/2，一旦发现lwbd-d与upbd+d同为质数时，就找到了结果，输出(lwbd-d)*(upbd+d).如果一个输入S是奇数，就不需要遍历求解，S是奇数只可能是偶数+奇数，而质数中只有2是偶数，所以直接输出2*(S-2)就是结果.
此题需要反复判断数字是否为质数，如果写一个函数用以判断数字是否为质数，假设有M个数字待判断，那么M次判断都要花费判断质数的函数开销。在参考代码中初始用一个bool数组isPrime[]表示数字i是否为质数，若是质数则isPrime[i]=1,否则isPrime[i]=0，而初始化isPrime[]数组的函数只运行了1次，后续每次判断一个数字是否为质数只需要O(1)的时间，仅需要取得isPrime[]的值就可以了.


#include<stdio.h>
#include<stdbool.h>
const int MAXN=10009;//const：变量不能被改变
bool isPrime[MAXN];
void initPrime()
{
    int i,j;
    for(i=2;i<MAXN;i++)//数组初始化为true,0和1不是素数，所以直接从2开始
        isPrime[i]=true;
    for(i=2;i<MAXN;i++)//依次把2,3，4.......的倍数置为false
    {
        if(isPrime[i]==true)
        for(j=i*i;j<MAXN;j+=i)
        {
            isPrime[j]=false;
        }
    }
}

int main()
{
    initPrime();
    int S,x,y;
    scanf("%d",&S);
    if(S%2==0)//若S为偶数，看中位数是否为素数，若不是 则向两边检测
    {
        x=S/2;
        y=S/2;
        while(isPrime[x]==false || isPrime[y]==false)
        {
            x+=1;
            y-=1;
        }
        printf("%d\n",x*y);
    }
    else//若S为奇数，定为奇数与偶数的和，因此只能是2，S-2
        printf("%d\n",2*(S-2));
    return 0;
}

第一次竞赛-A.质数的最大乘积

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