解决数列问题
1.线性齐次递推
顾名思义
$h_n=a_1*h_{n-1}+a_2*h_{n-2}+...+a_k*h_{n-k}+d_n$
其中$d_n$是关于n的一个多项式
可以递推
可以矩阵乘法
但是
最好不过的是有通项公式！
以下用特征方程来处理出这个通项公式
常系数线性齐次递推
$d_n=0$时，称为：常系数线性齐次递推
有：$h_n-a_1*h_{n-1}+a_2*h_{n-2}+...+a_k*h_{n-k}=0$——①
我们考虑用“等比数列的线性组合”来凑出真正h
定义①的特征方程为：
$x^k-a_1*x^{k-1}+a_2*x^{k-2}+...+a_k=0$
这个方程的k个解，设为g1,g2...gk
①对于每一个根q,${q}^n$都是h的一个可能的通项公式（把$q^{n-k}$）乘回去即可
②对于每一个m重根q，$q^n,nq^n,n^2q^n.....,n^{m-1}q^n$都是h可能的根
证明：
对于$x^n-a_1*x^{n-1}+a_2*x^{n-2}+...+a_k*x^{n-k}=0$——③
因式分解，有$.....(x-q)^m*x^{n-k}=0$
对③求导，再同时乘上x
得到$n*x^n-a_1*(n-1)*x^{n-1}+a_2*(n-2)*x^{n-2}+...+a_k*(n-k)*x^{n-k}=0$——④
考虑因式分解的情况，一定有$(....)(x-q)^{m-1}+(......)(x-q)^m$这样，x=q还是④的解
所以有解：nq^n
重复下去,$q^n,nq^n,n^2q^n.....,n^{m-1}q^n$都是h可能的根
证毕
所以一般来看：
线性组合也即：$h_n=c_1*{g_1}^n+{c_2}*n^m*{g_2}^n...$这样
可以利用前几项待定系数得到
留下个问题：
为什么一定是这两种nq^n,q^n线性组合？
（可以得到的是，如果是线性组合形式，每一个公比一定是一个特征根，否则不能在每一个n都得到0）
非常系数线性齐次递推
叠加原理：
证明：
然后对于一般的题
先求出常系数齐次的部分，
再求出非常系数的部分，然后叠加原理
2.一般生成函数——组合
我们考虑从多项式的角度去处理数列的问题
对于h，h1x+h2x^2+...+hn*x^n是一个无穷多项式
这个多项式就叫做h的生成函数
这个x没有什么实际意义
考虑通过x搞一些事情