问题引入
给定一个长度为\(n\)的环，每次对于一个位置上的数，加上它左边的数乘上\(L\)，再加上右边的数乘上\(R\)。\(L,R\)是给定的常数，问执行\(s\)次之后，这个环上的每个位置上的数是多少
（计算时左边和右边的数都是上一次的数）
如果\(n \leq 100, s \leq 2^{30}\)
可以想到矩阵快速幂
构造矩阵
\[ \begin{aligned} &\begin{bmatrix}a_1 & a_2 & \cdots & a_n\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & l & 0 & 0 & \cdots & 0 & r \\ r & 1 & l & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ l & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & r & 1 \end{bmatrix} \\ =\;& \begin{bmatrix}a_1' & a_2' & \cdots & a_n'\end{bmatrix} \end{aligned} \]
于是开心地快速幂了
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#define RG register
#define file(x) freopen(#x".in", "r", stdin), freopen(#x".out", "w", stdout)
#define clear(x, y) memset(x, y, sizeof(x))
inline int read()
{
int data = 0, w = 1; char ch = getchar();
while(ch != '-' && (!isdigit(ch))) ch = getchar();
if(ch == '-') w = -1, ch = getchar();
while(isdigit(ch)) data = data * 10 + (ch ^ 48), ch = getchar();
return data * w;
}
const int maxn(1010);
int n, s, L, R, _x, Pow[10], a[maxn], Mod;
namespace $
{
const int N(110);
struct Matrix
{
int n, m, a[N][N];
Matrix(int x, int y) : n(x), m(y) { memset(a, 0, sizeof a); }
int *operator [] (const int &id) { return a[id]; }
const int *operator [] (const int &id) const { return a[id]; }
};
Matrix operator * (const Matrix &a, const Matrix &b)
{
Matrix c(a.n, b.m);
for(RG int i = 0; i < a.n; i++)
for(RG int j = 0; j < a.m; j++)
for(RG int k = 0; k < b.m; k++)
c[i][k] = (1ll * c[i][k] + 1ll * a[i][j] * b[j][k]) % Mod;
return c;
}
int main()
{
Matrix S(1, n), T(n, n);
for(RG int i = 0; i < n; i++) S[0][i] = a[i];
for(RG int i = 0; i < n; i++)
{
int pre = (i - 1 + n) % n, suc = (i + 1) % n;
T[i][i] = 1, T[pre][i] = L, T[suc][i] = R;
}
while(s)
{
if(s & 1) S = S * T;
T = T * T; s >>= 1;
}
for(RG int i = 0; i < n; i++) printf("%d ", S[0][i]);
return 0;
}
}
int main()
{
Pow[0] = 1;
for(RG int i = 1; i < 10; i++) Pow[i] = Pow[i - 1] * 10;
n = read(), s = read(), L = read(), R = read(), _x = read();
for(RG int i = 0; i < n; i++) a[i] = read();
Mod = Pow[_x];
return $::main();
}解决
可是：
\(n \leq 1000, s \leq 2^{30}\)
\(\text{TLE}\)
但仔细看这个矩阵可以发现一个特点：它的每一行都是上一行往右移动一位得到的
不但如此，这个矩阵无论自乘多少次，都满足这个性质，所以理论上只需要维护第一行就好了
令\(k[i]\)表示矩阵第一行的第\(i\)个，那么有（假设是一个\(4 * 4\)的矩阵
\[ \begin{aligned} k[1]'&=a[1][1]\times a[1][1] + a[1][2]\times a[2][1] + a[1][3]\times a[3][1] + a[1][4]\times a[4][1] \\ &=k[1]\times k[1] + k[2]\times k[4] + k[3]\times k[3] + k[4]\times k[2] \end{aligned} \\ \therefore k[2] = k[1]\times k[2] + k[2]\times k[1] + k[3]\times k[4] + k[4]\times k[3] \]
可以看出一些规律：
\[ k[x]=\sum_{(i+j-2) \% n + 1 = x} k[i] \times k[j] \]
这样复杂度就是\(O(n^2log\;s)\)了
解决啦！！！
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#define RG register
#define file(x) freopen(#x".in", "r", stdin), freopen(#x".out", "w", stdout)
#define clear(x, y) memset(x, y, sizeof(x))
inline int read()
{
int data = 0, w = 1; char ch = getchar();
while(ch != '-' && (!isdigit(ch))) ch = getchar();
if(ch == '-') w = -1, ch = getchar();
while(isdigit(ch)) data = data * 10 + (ch ^ 48), ch = getchar();
return data * w;
}
const int maxn(1010);
int n, s, L, R, _x, Mod = 1;
int S[maxn], T[maxn];
void Mul(int S[], int T[])
{
static int c[maxn]; clear(c, 0);
for(RG int i = 1; i <= n; i++)
for(RG int j = 1; j <= n; j++)
(c[(i + j - 2) % n + 1] += 1ll * S[i] * T[j] % Mod) %= Mod;
std::copy(c + 1, c + n + 1, S + 1);
}
int main()
{
n = read(), s = read(), L = read(), R = read(), _x = read();
for(RG int i = 1; i <= _x; i++) Mod *= 10;
for(RG int i = 1; i <= n; i++) S[i] = read();
T[1] = 1, T[2] = L, T[n] = R;
for(; s; s >>= 1, Mul(T, T)) if(s & 1) Mul(S, T);
for(RG int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", S[i]);
return 0;
}总结
形如\(\begin{bmatrix}c_1&c_2&\cdots&c_{n-1}&c_n\\c_2&c_3&\cdots&c_n&c_1\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\c_n&c_1&\cdots&c_{n-2}&c_{n-1}\end{bmatrix}\)的矩阵是循环矩阵
循环矩阵的乘积仍是循环矩阵
所以我们只要维护循环矩阵的第一行
就可以\(O(n^2)\)维护循环矩阵的乘积
通过这样一些神奇的性质，我们可以降低矩阵乘法的复杂度
来出毒瘤题
Extend
可不可以\(\mathrm{FFT}\)优化循环矩阵乘法呢？？