一般分配模型
一、问题描述
问题描述：N个人分配N项任务，一个人只能分配一项任务，一项任务只能分配给一个人，将一项任务分配给一个人是需要支付报酬，如何分配任务，保证支付的报酬总数最小。
问题数学描述：
注意，这个规划问题是整数线性规划（ILP）问题，也就是说，两个约束方程，保证每个任务被分配一次。决策变量仅允许取离散值0/1
二、实例分析---穷举法
在讲将匈牙利算法解决任务问题之前，先分析几个具体实例。
以3个工作人员和3项任务为实例，下图为薪酬图表和根据薪酬图表所得的cost矩阵。
利用最简单的方法(穷举法)进行求解，计算出所有分配情况的总薪酬开销，然后求最小值。
total_cost1 = 250 + 600 + 250 = 1100; x00 = 1,x11 = 1,x22 = 1;
total_cost2 = 250 + 350 + 400 = 1000; x00 = 1,x12 = 1,x21 = 1;
total_cost3 = 400 + 400 + 250 = 1050; x01 = 1,x10 = 1,x22 = 1;
total_cost4 = 400 + 350 + 200 = 950; x01 = 1,x12 = 1,x20 = 1; //最优分配
total_cost5 = 350 + 400 + 400 = 1150; x02 = 1,x10 = 1,x21 = 1;
total_cost6 = 350 + 600 + 250 = 1150; x02 = 1,x11 = 1,x22 = 1;
对于任务数和人员数较少时，可利用穷举法计算结果。
若将N任务分配给N个人员，其包含的所有分配情况数目为N!，N增大时，穷举法将难以完成任务。
三、匈牙利算法
下面简要介绍匈牙利算法。
其基本的理论基础是针对cost矩阵，将cost矩阵的一行或一列数据加上或减去一个数，其最优任务分配求解问题不变。
算法的基本步骤如下：
四、实例分析---匈牙利算法
下面结合具体实例，分析匈牙利算法如何解决任务分配问题。
以N = 4为实例，下图为cost列表和cost矩阵。
Step1.从第1行减去75，第2行减去35，第3行减去90，第4行减去45。
Step2.从第1列减去0，第2列减去0，第3列减去0，第4列减去5。
Step3.利用最少的水平线或垂直线覆盖所有的0。
Step4.由于水平线和垂直线的总数是3，少于4，进入Step5。
Step5.没有被覆盖的最小值是5，没有被覆盖的每行减去最小值5，被覆盖的每列加上最小值5，然后跳转到步骤3.
Step3.利用最少的水平线或垂直线覆盖所有的0。
Step4.由于水平线和垂直线的总数是3，少于4，进入Step5。
Step5.没有被覆盖的最小值是20，没有被覆盖的每行减去最小值20，被覆盖的每列加上最小值20，然后跳转到步骤3.
Step3.利用最少的水平线或垂直线覆盖所有的0。
Step4.由于水平线和垂直线的总数是4，算法结束，分配结果如下图所示。
其中，黄色框表示分配结果，左边矩阵的最优分配等价于左边矩阵的最优分配。
注意：若分配问题中需要配对两个集合大小不同，则小的一个可以利用伪成员进行扩张，这些伪成员可以分配给另外一个集合里的所有成员，且相应的费用为零。
二次分配模型
我们在上面一般分配问题的约束下，最小化或者最大化如下形式的二次目标函数：
其中是将i分配给j且k分配给l的收益或者成本
注意到，目标函数的每一项包含两个分配决策：，也就是只有
才会有
的成本。
这种模型的应用，主要是在购物商场的店铺装修布局。
注意：计算二次分配模型的全局最优点是很困难的，这是因为目标函数变成了非线性，此时不再是整数规划问题了，解这类问题通常采用启发式算法。
广义分配模型
我们之前的分配问题约束是每个i必须被分配到一个j中，反之亦然。现在假设每一个i必须被分配给一些事物j，每一个事物j可以与多个i配对。具体来说，定义如下变量：
bj 表示j的容量
si,j表示如果i被分配j，那么j需要消耗的容量、空间、或者类似的量
ci,j表示i分配给j的成本或者收益
此时，用来找到在不超过容量限制的情况下最佳分配所有事物i的方案的模型，就是广义分配模型，形式如下：
广义分配模型，还是属于整数规划问题，在规模适中时可以用整数规划求解方式求解。
匹配模型
最后一种分配模型是消除集合之间的区别，即寻找同一类事物之间的最佳配对，此时，我们把一般分配模型中的j换成i',同时，约束条件变为：
一般来说，令i‘ > i的目的在于消去重复计数。
其应用如扬声器匹配模型，同一批扬声器由于生产工艺的差别，搭配成一个立体声系统时，两个扬声器之间存在干扰失真，建模的意义在于，如何搭配两个扬声器，使得整体的干扰失真最小。