单点修改:
不需要差分
区间修改,单点查询: //参考
假设现在有一个原数组a(假设a[0] = 0),有一个数组d,d[i] = a[i] - a[i-1],那么
a[i] = d[1] + d[2] + .... + d[i]
d数组就是差分数组
所以求a[i]就可以用树状数组维护d[i]的前缀和
区间修改,单点查询:
根据d的定义,对[l,r]区间加上x,那么a[l]和a[l-1]的差增加了x,a[r+1]与a[r]的差减少了x,所以就对差分数组的前缀和进行修改
设c是差分数组的前缀和
for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%d",&y); add(i,y-x); x=y; }
void add(int x,int k) { for (int i = 1;i <= n;i += lowbit(i)) c[i] += k; } { add(l,x); //差分 add(r+1,-x); }
int sum(int x) { int ans = 0; for (int i = x;i > 0;i -= lowbit(i)) ans += c[i]; return ans; }
区间修改,区间查询:
根据上面的差分数组的定义可以得到:
a[1] + a[2] + a[3] + ... + a[k] = d[1] + d[1] + d[2] + d[1] + d[2] + d[3] + ... + d[1] + d[2] + d[3] + ... + d[k]
= Σ(k - i + 1) * d[i] (i从1到k)
变化一下 Σa[i] (i从1到k) = Σ(k+1) * d[i] - i * d[i] (i从1到k)
d[i]可以用一个前缀和维护,i * d[i]也可以用一个前缀和进行维护,所以区间修改,区间查询就变得很方便了
假设c1维护d[i]的前缀和,c2维护d[i] * i的前缀和
void add(int x,int y) { for (int i = x;i <= n;i += lowbit(i)) c1[i] += y,c2[i] += x * y; } { add(l,x); add(r+1,-x); }
int sum(int x) { int ans1 = 0; int ans2 = 0; for (int i = x;i > 0;i -= lowbit(i)) { ans1 += (x + 1) * c1[i]; ans2 += c2[i]; } return ans1 - ans2; }