LeetCode：4. Median of Two Sorted Arrays - Python

问题描述：

4. 寻找两个有序数组的中位数

给定两个大小为m和n的有序数组nums1和nums2。

请你找出这两个有序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为O(log(m + n))。

你可以假设nums1和nums2不会同时为空。

示例 1:

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]
则中位数是 2.0

示例 2:

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]
则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5

问题分析：

今天下午，zhongkeyuan面试题目。
方法1：
（1）先把两个数组合并，然后排序，直接求出结果。
（2）时间复杂度可以理解为： O((n+m)log(n+m)) 或者 O(nlogn) 也行，都是一个数量级。
（3）很显然，没有满足题目要求。

---

方法2：切割法 - 参考官方解答进行梳理

（1） 为了方便，nums1和nums2 用A，B 代替。分别从A、B中找一个位置i、j，把两个数组分别开为两部分，如下：

      left_part          |        right_part
A[0], A[1], ..., A[i-1]  |  A[i], A[i+1], ..., A[m-1]
B[0], B[1], ..., B[j-1]  |  B[j], B[j+1], ..., B[n-1]

根据中位数的性质，很容易得到两个条件：

1、 $len(left\_part)=len(right\_part)$
2、 $\max(\text{left\_part}) \leq \min(\text{right\_part})$ 或 $\max(A[i-1], B[j-1]) \leq \min(A[i], B[j])$

进一步可以得出：

$median= (max(left\_part)+min(right\_part))/2$
​
（2） 如何确定i，j？，接着上面推导，可以得出下面两个条件。

1、 $i+j=m−i+n−j$ 或者， $i+j=m - i + n - j + 1$

如果 n>=m，此时， $i =[ 0 ...m]$， $j = (n+m+1)/2 - i$，（始终保持n大，这样为了是j的非负性）

2、 $B[j-1] \leq A[i] and A[i−1] \leq B[j]$

这一过程，就可以通过二分法来查找来确定 i 的值了。

（3） 最后就根据n+m的奇偶性，返回中位数，即可。时间复杂度 O(log min(n,m))

Python3实现：

# 方法 1
# 时间复杂度 O(nlogn)
# 排序法

class Solution:
    def findMedianSortedArrays(self, nums1, nums2):

        nums = sorted(nums1 + nums2)  # 合并排序
        if len(nums) % 2 == 0:
            return (nums[len(nums) // 2] + nums[len(nums) // 2 - 1]) / 2
        else:
            return nums[len(nums) // 2]


if __name__ == '__main__':
    nums1, nums2 = [1, 3], [3, 4]
    solu = Solution()
    print(solu.findMedianSortedArrays(nums1, nums2))

# 方法 2
class Solution:
    def findMedianSortedArrays(self, nums1, nums2):

        m, n = len(nums1), len(nums2)
        if m > n:
            nums1, nums2, m, n = nums2, nums1, n, m  # 保持 n 始终大于 m
        if n == 0:
            return None

        imin, imax, half_len = 0, m, int((m + n + 1) / 2)
        while imin <= imax:
            i = int((imin + imax) / 2)
            j = half_len - i
            # 确定 i j 两个值
            if i < m and nums2[j - 1] > nums1[i]:  # 现在说名 i 太小，应该增加
                imin = i + 1
            elif i > 0 and nums1[i - 1] > nums2[j]:  # 现在说名 i 太大，应该减小
                imax = i - 1

            else:
                # i 的值已经确定，现在找中间值

                if i == 0:  # 确定左边界情况
                    max_of_left = nums2[j - 1]
                elif j == 0:
                    max_of_left = nums1[i - 1]
                else:
                    max_of_left = max(nums1[i - 1], nums2[j - 1])

                if (m + n) % 2 == 1:  # 奇数的情况下
                    return max_of_left

                if i == m:  # 确定右边界情况
                    min_of_right = nums2[j]
                elif j == n:
                    min_of_right = nums1[i]
                else:
                    min_of_right = min(nums1[i], nums2[j])

                return (max_of_left + min_of_right) / 2.0


if __name__ == '__main__':
    nums1, nums2 = [1, 3], [3, 4]
    solu = Solution()
    print(solu.findMedianSortedArrays(nums1, nums2))

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题目链接：leetcode-cn.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/
参考链接：leetcode.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/solution/