问题：已知地球上两个坐标点A，B的坐标，坐标分别为A(α,α₁),B(β,β₁),已知地球半径为R，如何计算两个坐标点的距离？
解答：
设A的纬度为α，B的纬度为β，设AB两点的经度差为φ，三角形AOB中∠AOB度数为θ，三角形AO₁C中∠AO₁C度数为θ₁。
①在三角形AOB中通过三角函数公式得出以下算式
AB² = OA² + OB² - 2OA·OBcosθ
= 2R²-2R²cosθ
= 2R²(1-cosθ)
②在三角形AO₁C中通过三角函数公式得出以下算式
AC² = O₁C² + O₁A² - 2O₁A·O₁Ccosφ
通过三角函数定理得出
O₁C = R·cosα O₁A = R·cosβ
于是②整理后得
AC² = R²·cos²α + R²·cos²β - 2R²·cosα·cosβ·cosφ
③在三角形ABC中通过三角函数公式得出以下算式
AB² = BC² + AC²
其中BC长度可以通过三角函数算出
BC = R·sinα + R·sinβ
=R(sinα + sinβ)
将①②代入③中得出如下算式
2R²(1-cosθ) = R²(sinα + sinβ)² + R²·cos²α + R²·cos²β - 2R²·cosα·cosβ·cosφ
= 2R²+2R²sinα·sinβ- - 2R²·cosα·cosβ·cosφ
整理后得
cosθ = ·cosα·cosβ·cosφ-sinα·sinβ
θ = arccos(cosα·cosβ·cosφ-sinα·sinβ)
于是得出两点间的距离为
R·arccos(cosα·cosβ·cosφ-sinα·sinβ)