省队集训Round3 DAY2

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T3

题解

首先我们需要计算出M。
N为奇数，中间位不受反转的影响(翻转后每一位异或1)，即这一位的位置不会改变，如果反转只可能是0->1。所以我们可以把中间位当成标记位，刚开始编码的时候为0，如果给出的编码中间位为1，那么说明反转过了，需要逆操作后再进行解码,$M=2^{N-1}$
N位偶数，把数列从中间劈开，后一半是前一半反转后的结果，这样的数列如果进行反转操作得到的数列是不变的。
剩下的数列还是要考虑标记位的问题。把i与n-i+1两两配对，如果从小到大找到第一对相同的数对的位置，把他作为标记位，该开始都为00，如果给出的编码为11说明反转过了。设标记位为k，那么n-k..n位为1..k-1位反转后的结果，这个就可以方便的找到标记位。两个标记位中间的部分可以自由安排。
$M=2^{N/2}+\sum_{k=1}^{N/2} 2^{k-1}*2^{N-2*k}$
这种情况的话可以把编码根据标记位的问题分成N/2+1段，无论是编码还是解码的过程只需要找到对应的段进行操作即可。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
class Entropy{
    public:
    long long L[100];int cnt=0,n;
    long long quickpow(int num,int x)
    {
        long long ans=1,base=num;
        while (x) {
            if (x&1) ans=ans*base;
            x>>=1;
            base=base*base;
        }
        return ans;
    }
    long long getM(int N){
        n=N;
        if (N==1) return 0;
        if (N&1) return quickpow(2,N-1);
        long long ans=0;
        ans=quickpow(2,N/2); L[++cnt]=ans;
        for (int k=1;k<=N/2;k++) 
         ans+=quickpow(2,k-1)*quickpow(2,N-2*k),L[++cnt]=ans;
        return ans;
    }
    int find(long long x)
    {
        int l=1; int r=cnt; int ans=cnt;
        while (l<=r) {
            int mid=(l+r)/2;
            if (L[mid]>=x) ans=min(ans,mid),r=mid-1;
            else l=mid+1;
        }
        return ans;
    }
    string encode(long long x){
        if (n&1) {
            int t=0,a[100];
            while (x) {
                if (x&1) a[++t]=1;
                else a[++t]=0;
                x>>=1;
            }
            for (int i=t+1;i<=n-1;i++) a[i]=0;
            reverse(a+1,a+n);
            string s; s.clear();
            for (int i=1;i<=(n-1)/2;i++)
             if (a[i]==1) s+='1';
             else s+='0';
            s+='0';
            for (int i=(n-1)/2+1;i<=n-1;i++)
             if (a[i]==1) s+='1';
             else s+='0';
            return s;
        }
        int pos=find(x+1);
        if (pos==1) {
            int t=0,a[100];
            while (x) {
                if (x&1) a[++t]=1;
                else a[++t]=0;
                x>>=1;
            }
            for (int i=t+1;i<=n/2;i++) a[i]=0;
            reverse(a+1,a+n/2+1);
            string s; s.clear();
            for (int i=1;i<=n/2;i++)
             if (a[i]==0) s+='0';
             else s+='1';
            for (int i=n/2;i>=1;i--)
             if (a[i]==0) s+='1';
             else s+='0';
            return s;
        }
        long long val=x+1-L[pos-1];
        long long mod=quickpow(2,n-2*(pos-1));
        long long c=(val-1)/mod;
        int t=0,a[100];
        while (c) {
            if (c&1) a[++t]=1;
            else a[++t]=0;
            c>>=1;
        }
        for (int i=t+1;i<=pos-2;i++) a[++t]=0;
        reverse(a+1,a+pos-2+1);
        string s; s.clear();
        for (int i=1;i<=pos-2;i++) 
         if (a[i]==1) s+='1';
         else s+='0';
        s+='0';
        c=val%mod; c=(c-1+mod)%mod;
        t=0; int b[100];
        while (c) {
            if (c&1) b[++t]=1;
            else b[++t]=0;
            c>>=1;
        }
        for (int i=t+1;i<=n-2*(pos-1);i++) b[++t]=0;
        reverse(b+1,b+n-2*(pos-1)+1);
        for (int i=1;i<=n-2*(pos-1);i++)
         if (b[i]==1) s+='1';
         else s+='0';
        s+='0';
        for (int i=pos-2;i>=1;i--)
         if (a[i]==1) s+='0';
         else s+='1';
        return s;
    }
    long long decode(string s){
        if (n&1) {
            string s1; s1.clear(); s1=s;
            if (s1[(n+1)/2-1]=='1'){
                s.clear();
                for (int i=n-1;i>=0;i--) 
                 if (s1[i]=='1') s+='0';
                 else s+='1';
            }
            int t=0; long long a[100];
            for (int i=1;i<=(n-1)/2;i++)
             if (s[i-1]=='0') a[++t]=0;
             else a[++t]=1;
            for (int i=(n-1)/2+2;i<=n;i++)
             if (s[i-1]=='0') a[++t]=0;
             else a[++t]=1;
            long long ans=0,x=1;
            for (int i=n-1;i>=1;i--) {
                ans+=a[i]*x;
                x*=2;
            }
            return ans;
        }
        int k=0,pos;
        string s1; s1.clear();
        for (int i=n-1;i>=0;i--) 
         if (s[i]=='1') s1+='0';
         else s1+='1';
        for (int i=0;i<=n-1;i++)
         if (s[i]==s1[i]) k++,pos=i-1;
        for (int i=1;i<=n/2;i++)
         if (s[i-1]==s[n-i]) {
          pos=i-1;
          break;
         }
        //cout<<pos<<endl;
        if (k==n) {
            long long ans=0,x=1;
            for (int i=n/2;i>=1;i--){
                long long now=1;
                if (s[i-1]=='0') now=0;
                ans+=now*x;
                x*=2;
            }
            return ans;
        }
        if (s[pos]=='1') {
            string s1; s1.clear(); s1=s;
            s.clear();
            for (int i=n-1;i>=0;i--) 
             if (s1[i]=='1') s+='0';
             else s+='1';
        }
        long long ans=0;
        ans+=L[pos+1]-1;
        long long sum=0,x=1;
        for (int i=pos-1;i>=0;i--) {
            long long now=1;
            if (s[i]=='0') now=0;
            sum+=now*x;
            x*=2;
        }
        long long sum1=0,x1=1;
        for (int i=n-pos-2;i>=pos+1;i--) {
            long long now=1;
            if (s[i]=='0') now=0;
            sum1+=now*x1;
            x1*=2;
        }
        long long k1=quickpow(2,n-2*(pos+1));
        ans+=k1*sum;
        ans+=sum1+1;
    //  cout<<ans<<endl;
        return ans;
    }
};
#include "entropy.h"