码出高效读书笔记：树

1、树（tree）

树是一种常用的数据结构，它是一个由有限节点组成的一个具有层次关系的集合，数据就存在树的这些节点中。最顶层只有一个节点，称为“根节点”（root）。在分支处有一个节点，指向多个方向，如果某节点下方没有任何分叉的话，就是叶子节点。

从某节点出发，到叶子节点为止，最长简单路径上边的条数，称为该节点的高度。
从根节点出发，到某节点边的条数，称为该节点的深度。

如下图所示的树，根节点root的高度是5，深度是0；节点2的高度是4，深度是1。

树的结构特点如下：

一个节点，即只有根节点，也可以是一棵树。
其中任何一个节点与下面所有节点构成的树成为子树。
根节点没有父节点，而叶子节点没有子节点。
除根节点外，任何节点有且只有一个父节点。
任何节点可以有0-N个子节点。

每个节点至多有两个子节点的树称为二叉树，上图正好是一棵二叉树。二分法是经典的问题拆解算法，二叉树是近似于二分法的一种数据结构实现，二叉树是高效算法实现的载体，在整个数据结构领域具有举足轻重的地位。在二叉树的世界里，最为重要的概念是平衡二叉树、二叉查找树、红黑树。

Java以递归的方式打印下图中的二叉树（前序、中序、后序）：

代码如下：

package Test;
//使用递归实现的话，无非就是打印的顺序不同
public class PrintBinTree {
    //前序遍历   根节点、左节点、右节点
    public void prePrint(Node head){
        if (head == null) {
            return;
        }
        System.out.print(head.val+" ");
        prePrint(head.left);
        prePrint(head.right);
    }
    //中序遍历   左节点、根节点、右节点
    public void midPrint(Node head){
        if (head == null) {
            return;
        }
        midPrint(head.left);
        System.out.print(head.val+" ");
        midPrint(head.right);
    }
    //后序遍历   右节点、根节点、左节点
    public void backPrint(Node head){
        if (head == null) {
            return;
        }
        backPrint(head.left);
        backPrint(head.right);
        System.out.print(head.val+" ");
    }
    public static void main(String[] args) {
        Node head = new Node(1);
        head.left = new Node(2);
        head.right = new Node(3);

        head.left.left = new Node(4);
        head.left.right = new Node(5);
        head.right.left = new Node(6);
        head.right.right = new Node(7);

        PrintBinTree pbt = new PrintBinTree();
        System.out.print("前序：");
        pbt.prePrint(head);
        System.out.println();
        System.out.print("中序：");
        pbt.midPrint(head);
        System.out.println();
        System.out.print("后序：");
        pbt.backPrint(head);
    }
}

class Node{
    public int val;
    public Node left;
    public Node right;

    Node(int val){
        this.val = val;
    }
}

2、平衡二叉树

如果把上图中的所有左侧枝叶全部砍掉的话，那么剩余的部分还是树吗？很明显是的，但是它只是以“树”之名，行“链表”之实，如下面（a）图所示。如果以树的复杂结构来实现简单的链表功能，则完全埋没了树的特点。那么如此看来，对于树的使用，需要进行某种条件的约束，如下面（b）图所示，让链表一样的树变得更优层次结构，平衡二叉树就呼之欲出了！

（a）图的高度差为5，而右侧树由9与8组成的递归右子树的高度差为1，高度差是一棵树是否为平衡二叉树的决定条件。

平衡二叉树的性质如下：

树的左右高度差不能超过1。
任何往下递归的左子树与右子树，必须符合第一条性质。
没有任何节点的空树或只有根节点的树也是平衡二叉树。

3、二叉查找树

二叉查找树又称二叉搜索树（二叉排序树）。Java集合的最终目的就是加工数据，二叉查找树也是如此。树如其名，二叉查找树非常擅长数据查找。

二叉查找树额外增加了如下要求：

对于任意节点来说，它的左子树上所有节点的值都小于它，而它右子树上所有节点的值都大于它。

查找过程从树的根节点开始，沿着简单的判断向下走，小于节点值的往左走，大于节点值的往右走，知道找到目标数据或者到达叶子节点还未找到。

遍历所有节点的常用方式有三种：

前序遍历：顺序是根节点、左节点、右节点。
中序遍历：顺序是左节点、根节点、右节点。
后序遍历：顺序是做节点、右节点、根节点。

根据二叉查找树的性质要求，来“美化”一下最开始的（a）“链表树”和（b）“平衡二叉树”。要牢牢遵循“对于任意节点来说，它的左子树上所有节点的值都小于它，而它右子树上所有节点的值都大于它”的要求。

（a）图的红色节点8和节点9进行互换，节点9成为节点8的右子树，形成图（b）；图（c）的红色节点8移动到左子树上，把紫色的节点2与节点4互换一下，形成图（d）。经过调整后，再看任何递归字数，都是符合二叉查找树的要求，所以两棵新树都是二叉查找树。但明显右下方这棵树要优于右上方那棵，因为更加平衡，查找效率更高。同时可以看出，二叉查找树容易构造，但是如果缺少约束条件，很可能往一个方向野蛮生长，成为查找复杂度为O(n)的树。所以二叉查找树需要引入一种监测机制，随着新值的插入动态地调整树结构，那么如何来调整呢？红黑树就是来解决这个问题的。

二叉查找树由于随着数据不断地增加或删除容易失衡，为了保持二叉树重要的平衡性，有很多算法的实现，如AVL树、红黑树、SBT（Size Balanced Tree）、Treap（树堆）等。考虑到在Java底层框架很多算法实现以红黑树为基础，所以简单介绍一下AVL树，然后重点介绍红黑树。

4、AVL树（平衡二叉查找树）

AVL树是以苏联数学家Adelson-Velsky和Landis名字命名的平衡二叉树算法，可以使二叉树的使用效率达到最大化。

AVL树是一种平衡二叉查找树，增加和删除节点后通过属性旋转重新达到平衡。

右旋是以某个节点为中心，将它沉入当前右子节点的位置，而让当前的左子节点作为新树的根节点，也称为顺时针旋转。
左旋是以某个节点为中心，将它沉入当前左子节点的位置，而让当前的右子节点作为新树的根节点，也称为逆时针旋转。

AVL树就是通过不断旋转来达到树平衡的，下方的左旋和右旋只是旋转操作层面的简单示意图，我们应体会如何通过旋转达到一种新的平衡状态，不再基于插入和删除进行展开，下图是右旋示意图：

上图左侧是非平衡状态，需要进行平衡化处理，根节点的左子树与右子树高度差超过1，向右旋转。在旋转过程中，节点15成为新的根节点，而节点16移动到节点17的左节点上。而左旋转则反之，如下图所示：

AVL树一定要保证以下两点，才能被称为是平衡查找二叉树：

左右子树的高度差不能超过1.
任一节点的左子树上的节点值要小于它，右子树上的节点值要大于它。

5、红黑树

红黑树是1972年发明的，当时称为对称二叉B树，1978年得到优化，正式命名为红黑树。它的主要特征是在每一个节点上增加一个属性来表示节点的颜色，可以是红色，也可以是黑色。

红黑树和AVL树类似，都是在进行插入和删除元素时，通过特定的旋转来保持自身平衡，从而获得较高的查找性能。与AVL树相比，红黑树并不追求所有递归字数的高度差不超过1，而是保证从根节点到叶尾的最长路径不超过最短路径的2倍，所以它的最坏运行时间也是O(logn)。红黑树通过重新着色和左右旋转，更加高效地完成了插入和删除操作后的自平衡调整。当然，红黑树在本质上还是二叉查找树，它额外引入了5个约束条件：

节点只能是红色或者黑色。
根节点必须是黑色。
所有NIL（Nothing In Leaf，是红黑树中特殊的存在，即在叶子节点上不存在的两个虚拟节点，它是红黑树旋转的假设性理论基础，默认为黑色）节点都是黑色的。
一条路径上不能出现相邻的两个红色节点。
在任何地递归子树内，根节点到叶子节点的所有路径上包含相同数目的黑色节点。

以上总结起来就是“有红必有黑，红红不相连”，上述5个约束条件保证了红黑树的新增、删除、查找的最坏时间复杂度均为O(logn)。如果一个树的左子节点或右子节点不存在，则均认定是黑色。红黑树的任何旋转在3次内均可完成。

红黑树的平衡性并不如AVL树，它维持的只是一种大致上的平衡（相对的平衡），并不严格保证左右子树的高度差不超过1.这导致在相同节点数的情况下，红黑树的高度可能更高，也就是说，平均查找次数会高于相同情况下的AVL树。

在插入时，红黑树和AVL树都能在至多两次旋转内恢复平衡。
在删除时，由于红黑树只追求大致上的平衡，因此红黑树能在至多三次旋转内恢复平衡，而追求绝对平衡的AVL树，则至多需要O(logn)次旋转。

可以得到以下结论：

面对频繁的插入和删除，红黑树更合适。
面对低频修改、大量查询时，AVL树将更合适。

示例：我们对红黑树与AVL树进行以下操作，按照顺序依次插入36、34、37、33、35、32，红黑树与AVL树结构的区别如下图所示：