BZOJ2839集合计数

题目描述

一个有N个元素的集合有2^N个不同子集（包含空集），现在要在这2^N个集合中取出若干集合（至少一个），使得

它们的交集的元素个数为K，求取法的方案数，答案模1000000007。（是质数喔~）

题解

假设我们已经确定了这 k个元素都是谁，最后再乘上 C(n,k)就可以了。

根据容斥原理(二项式反演)可知，答案为选出至少 k个的方案数-选出至少 k+1个的方案数+选出至少 k+2个的方案数。。。

如何求选出至少 x个的方案数，考虑有多少种集合包含 x个元素，答案是 2^n-x(相当于我们已经确定了 x个元素)。

他们中每个集合都可以选或不选，但是不能都不选。

所以是 2^r-1, r是刚才那个 2^n-x。

最后因为我们固定了k个，有x-k个没有固定，再乘上 C(n-k,x-k)。

注意指数要 %mod-1。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define N 1000009
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
ll inv[N],jie[N],ni[N],n,k,ans;
inline ll power(ll x,ll y){
    ll ans=1;
    while(y){
        if(y&1)ans=ans*x%mod;x=x*x%mod;y>>=1;
    }
    return ans;
}
inline ll C(int n,int m){
    return jie[n]*ni[m]%mod*ni[n-m]%mod;
}
int main(){
    cin>>n>>k;
    inv[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)inv[i]=inv[i-1]*2%(mod-1);
    jie[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)jie[i]=jie[i-1]*i%mod;ni[n]=power(jie[n],mod-2);
    for(int i=n-1;i>=0;--i)ni[i]=ni[i+1]*(i+1)%mod;
    for(int i=k;i<=n;++i){
         if((i-k)&1)ans-=C(n-k,i-k)*(power(2,inv[n-i])-1)%mod;
         else ans+=C(n-k,i-k)*(power(2,inv[n-i])-1)%mod;
         ans=(ans%mod+mod)%mod;
    }
    ans=ans*C(n,k)%mod;
    cout<<ans;
    return 0;
}