题目描述：给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。
示例 1:
输入: 2 输出: 1 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。示例 2:
输入: 10 输出: 36 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。
解法1。递归，使用记忆数组，不使用的话会超时。memo[i]记录的把i分割后的最大乘积（至少分割成2部分）
class Solution(object):
def integerBreak(self, n):
"""
:type n: int
:rtype: int
"""
if n <= 2:
return 1
memo = [-1 for _ in range(n+1)]
return self.helper(n, memo)
def helper(self, n, memo):
if n <= 1:
return 1
if memo[n] != -1:
return memo[n]
res = -1
for i in range(1, n):
res = max(res, i*(n-i), i*self.helper(n-i, memo))
memo[n] = res
return res解法2。用动态规划，把递归改写成自底向上
class Solution(object):
def integerBreak(self, n):
"""
:type n: int
:rtype: int
"""
if n<=2:
return 1
memo = [-1 for _ in range(n+1)]
memo[1] = 1
for i in range(2, n+1):
for j in range(1, i):
memo[i] = max(memo[i], j*(i-j), j*memo[i-j])
return memo[n]解法3。如何把复杂度控制在O(n)呢？数学的题就要得出数学规律来结题。
正整数从1开始，但是1不能拆分成两个正整数之和，所以不能当输出。
那么2只能拆成1+1，所以乘积也为1。
数字3可以拆分成2+1或1+1+1，显然第一种拆分方法乘积大为2。
数字4拆成2+2，乘积最大，为4。
数字5拆成3+2，乘积最大，为6。
数字6拆成3+3，乘积最大，为9。
数字7拆为3+4，乘积最大，为12。
数字8拆为3+3+2，乘积最大，为18。
数字9拆为3+3+3，乘积最大，为27。
数字10拆为3+3+4，乘积最大，为36。
....
那么通过观察上面的规律，我们可以看出从5开始，数字都需要先拆出所有的3，一直拆到剩下一个数为2或者4，因为剩4就不用再拆了，拆成两个2和不拆没有意义，而且4不能拆出一个3剩一个1，这样会比拆成2+2的乘积小。那么这样我们就可以写代码了，先预处理n为2和3的情况，然后先将结果res初始化为1，然后当n大于4开始循环，我们结果自乘3，n自减3，根据之前的分析，当跳出循环时，n只能是2或者4，再乘以res返回即可。
class Solution(object):
def integerBreak(self, n):
"""
:type n: int
:rtype: int
"""
if n==2 or n==3:
return n-1
res = 1
while n > 4:
res *= 3
n -= 3
return res*n