图像增强相关算法介绍 ------ 1

1、关于增强的理解

图像增强是为了强调图像中的某些信息，加强图像整体或局部特征。常用的方法有：统计正方图增强、图像平滑锐化等。按照实现的方式不同可以分为：空间域增强和频率域增强。频域处理是对图像的部分频率成分进行剔除（滤波）从而实现平滑或者锐化。空域处理是直接对图像数据处理，比如灰度变换和直方图变换等。

1.1 频域
原图像为I(x,y)，二位离散傅里叶变换可表示为：

$$F(u,v) = \frac{1}{MN} \sum_ {x=0} ^{M-1} \sum_ {y=0} ^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi (ux/M + vy/N)}$$
经过系统函数 $H(u,v)$的变换可以得到一个新的频率函数 $K(u,v)$:
$$K(u,v) = H(u,v) * F(u,v)$$ $$I^`(x,y) = F^{-1}[K(u,v)]$$
低频分量在视觉上为平滑部分，高频分量在视觉上为边缘部分，不同的分量处理得到不同的视觉效果。

1.2 空域
直接对图像的二维矩阵数据进行处理操作，如直接的灰度变换，阈值等。直方图处理是根据图像的数据得到图像数据的分布信息，由此信息我们可以对图像重新赋值，得到均匀分布的图片。
图片中某一位置的信息一般只与该位置附近的像素点有关，而距离较远的点对其影响不大。所以通常情况下会采用领域的操作实现图像的一些处理，邻域大小通常为3*3 或者 5*5 。比如中值滤波，比如Sobel算子，Canny算子，Laplacian算子等离散差分法。

2 几种 增强方法

1、对数变换
对数变换可以把图像中较暗的像素变大，用于扩展图像中较暗的像素值。其形式如：

$$f(x) = k * \log(x - min + 1)$$
k是一个常数，保证计算得到的数值不大于255. $$k = \frac{255}{log(max-min +1)}$$ 比如考试成绩取对数，应该有同学深有感触。

2、伽马校正
由于图像的显示和打印装置的响应函数大多是幂函数形式，所以可以对输入图像进行幂变换，使图像同入射光强相等或成正比。因为涉及到成像效果，从摄影、建筑的角度来分析就是18度灰才是中灰度。算法的实现我们看一个例子，假设像素值为100的一个点：
1、归一化：将像素值投射到0-1之间的实数中，

$$(i+0.5)/256 |_{i =100} =0.392578125$$
2、补偿：假设伽马值为2.2 ，则 $\frac1 {gama} = 0.454545454$,则像素的补偿结果为： $$f^\frac1 {gama}|_{f=0.392578125}=0.65379$$
3、映射回图像： $$(g * 256 -0.5 )|_{g = 0.65379} = 166.87$$ 取值为166.其中的运算量不小，实际中可采用查表的方式。

3、灰度直方图
直方图是一个统计数据，变现为图像中灰度值出现的概率，假设一副640*480的图像，其中灰度值为100的像素点为1240个，那么灰度值100 出现的概率为：1240 /（640*480）.把每一个像素值出现的次数都统计出来，就得到了各个值对应的概率。在这里加入一点概率分布和概率密度函数的记录，方便查阅。设离散型随机变量X的分布律为:

$$P\{X = X_k\} = p_k$$ 则 $$F(x) = P(X \le x) = \sum_{x_k \le x } P_k$$
这里的F(x)就是概率分布函数了。接下来在看看概率密度函数，书上说：

“密度函数”这个名词的来由可以解释如下，取定一个点x，则按分布函数的定义，事件$|x < X \le x + h|$的概率（h>0 为常数),应为F(x + h) - F(x)，所以，比值[F(x+h) - F(x)]/h可以解释为在x点附近h这么长的区间(x,x+h)内，单位长所占有的概率。令 h -> 0，则这个比的极限，即$F^`(x) = f(x)$，也就是在x点处(无穷小区段内)单位长的概率，或者说，它反映了概率在x点处的“密集程度“。你可以设想一条极细的无穷长的金属杆，总质量为1，概率密度相当于杆上个点的质量密度。

$$P(a\le x\le b ) = F(b) - F(a) = \int_a^bf(x)dx$$

图为连续型随机变量的分布函数和概率密度函数，由概率密度函数我们可以清晰的知道那些位置的概率要大一些。
在直方图均衡中我们需要的是概率分布函数。假设图像中最大的像素值为124，那么概率分布函数: $$F(x \le124) = 1$$ 我们将计算得到的概率分布函数重新映射到0-255.例如这里的124 就映射为255.

4、图像平滑
最常用的是邻域平均法

$$\bar f(x,y) = \frac 1 M \sum_{(s,y)\in S}f(x,y)$$ 这种方法平滑掉噪声的同是也平滑了图像信息。一般通过加权算子对图像领域进行平滑
$$\frac 1 5 \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0& 1 & 0\\ \end{vmatrix} 或 \frac 1 {10} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1\\ \end{vmatrix} 或 \frac 1 {16} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1\\ \end{vmatrix}$$

还有几何均值：

$$\bar f(x,y) = [\prod _{(x,y)\in S}f(x,y)]^{\frac 1{nm}}$$
和逆谐波均值： $$\bar f(x,y) = \frac {\sum_{(x,y)\in S }f(x,y)^{q+1}}{\sum_{(x,y)\in S }f(x,y)^{q}}$$
中值滤波
对于邻域内的像素按大小排列，比如3*3的核，9个数按大小排列，我们取第5个数。
5、图像锐化
图像平滑会带来图像边缘模糊，一般是由平均和积分造成的，我们可以使用 梯度锐化对于图像f(x,y),他在（x,y）处的梯度可表示为：
$$G[f(x,y)]=[(\frac {\partial f}{\partial x})^2 + (\frac {\partial f}{\partial y})^2] ^{1/2}$$
离散图像可表示为：
$$R[f(x,y) ] = \{ [f(x,y)- f(x-1,y)]^2 +[f(x,y)- f(x,y-1)]^2 \} ^{1/2}$$
图像的第一行和第一列一般用后一行或者后一列的梯度近似。
二阶微分-拉普拉斯算子
$$\nabla ^2f =(\frac {\partial ^2f}{\partial x^2})+ (\frac {\partial ^2 f}{\partial y^2})$$
拉普拉斯算子是n维欧几里德空间二阶微分算子，定义为梯度的散度。离散函数的二阶微分退化成
$$\frac {\partial ^2f}{\partial x^2} = f(x+1,y) + f(x-1,y) - 2f(x,y)$$

$$\frac {\partial ^2f}{\partial y^2} = f(x,y+1) + f(x,y-1) - 2f(x,y)$$

$$\nabla ^2f =f(x+1,y) + f(x-1,y)+f(x,y+1) + f(x,y-1) - 4f(x,y)$$
写成filter mask的形式就是
$$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$$
这个矩阵90°方向上无方向性，为了让45°方向上也没有方向性，矩阵修改为：
$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -8 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix}$$
由二阶微分算子得到的图像只是强调灰度不连续的部分，也就是边缘信息。背景特征可以由原图和拉普拉斯计算后的图混合得到：
$$g(x,y) = f(x,y) + \lambda[\nabla ^2f(x,y)]$$
这里因为拉普拉斯算子中心为负数，我们的 $\lambda$取1。
参考：
1、 https://blog.csdn.net/u013625961/article/details/54375010
2、《基于Retinex理论的图像增强恢复算法研究》
3、 https://www.cnblogs.com/german-iris/p/4840647.html