[BZOJ 4407] 于神之怒加强版

题意

求下式的值:
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\gcd(i,j)^k\]
\(n,m\le 5\times 10^6, q\le 2000\)

题解

\[ \begin{align} f(x)&= \sum_i^N\sum_j^M[\gcd(i,j)=x] \\ F(x)&= \sum_{x|m}f(m) \\ &=\left \lfloor \frac N x \right \rfloor\left \lfloor \frac M x \right \rfloor \\ \text{Ans}&=\sum_d d^k f(d) \\ &=\sum_dd^k\sum_{d|m}F(m)\mu\left(\frac m d\right) \\ &= \sum_d\sum_{d|m}d^k F(m)\mu \left(\frac m d \right) \\ &=\sum_m\sum_{d|m} d^kF(m)\mu\left(\frac m d \right) \\ &=\sum_m F(m)\sum_{d|m} d^k \mu \left (\frac m d \right) \\ \\ \end{align} \]

这题目可以有一个推式子的思路: 把所有东西扔进最里层求和号里, 然后就可以对外层为所欲为然后再把一部分东西拽回来.

筛最后的 \(g(x)=\sum\limits_{d|x}d^k\mu\left (\frac x d \right)\) 的时候, 考虑 \(x=p^k\) 时, 只有 \(p^k\) 和 \(-p^{k-1}\) 会作出贡献, 于是每次加入一个新的质因子的时候直接乘以 \(p-1\), 如果是旧质因子的话只需要给幂次 \(+1\) 即可, 乘上一个 \(p\) 就星了

代码实现

#include <bits/stdc++.h>

const int MOD=1e9+7;
const int MAXN=5e6+10;

int k;
int cnt;
int g[MAXN];
int pr[MAXN];
int pw[MAXN];
int mu[MAXN];
bool npr[MAXN];

void EulerSieve(int);
int Pow(int,int,int);

int main(){
    int T;
    scanf("%d%d",&T,&k);
    EulerSieve(5e6);
    while(T--){
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        if(n>m)
            std::swap(n,m);
        int ans=0;
        for(int i=1,j;i<=n;i=j+1){
            j=std::min(n/(n/i),m/(m/i));
            (ans+=1ll*(n/i)*(m/i)%MOD*(g[j]-g[i-1]+MOD)%MOD)%=MOD;
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

void EulerSieve(int n){
    npr[0]=npr[1]=true;
    mu[1]=1;
    g[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!npr[i]){
            pr[cnt++]=i;
            pw[i]=Pow(i,k,MOD);
            g[i]=(pw[i]-1+MOD)%MOD;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=0,t;j<cnt&&(t=pr[j]*i)<=n;j++){
            npr[t]=true;
            if(i%pr[j]){
                mu[t]=-mu[i];
                g[t]=1ll*g[i]*g[pr[j]]%MOD;
            }
            else{
                mu[t]=0;
                g[t]=1ll*g[i]*pw[pr[j]]%MOD;
                break;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        (g[i]+=g[i-1])%=MOD;
}

inline int Pow(int a,int n,int p){
    int ans=1;
    while(n>0){
        if(n&1)
            ans=1ll*a*ans%p;
        a=1ll*a*a%p;
        n>>=1;
    }
    return ans;
}