用累积分布函数（CDF）计算期望

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一般计算期望的方法为：
$E(x) = \sum_x xP(x)$或者
$E(x) = \int xP(x)dx$

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但如果我们已知 非负 随机变量的累积分布函数(CDF)为 $F(x)$ 时，可以用如下方式计算：
$E(x) = \int_0^\infty 1-F(x)dx$
或者对于取值为离散自然数的随机变量
$E(x) = \sum_{n=0}^\infty Pr(x\geq n)$

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证明1：
$E(x) = \int_0^{\infty} yP(y)dy = \int_0^{\infty} \int_0^yP(y)dxdy \\= \int_0^{\infty} \int_x^{\infty}P(y)dydx = \int_0^{\infty} 1-F(x)dx$
证明2：
$E(x) = \sum_{k=0}^{\infty} kPr(x=k) = \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{k} Pr(x=k) \\=\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=n}^{\infty}Pr(x=k) = \sum_{n=0}^\infty Pr(x\geq n)$