NOIP前基础数学模板

最大公因数&最小公倍数（ $gcd，lcm$ ）
乘法逆元（三种方法）
快速乘&快速幂
线性筛-素数&最大质因数&最小质因数&欧拉函数
扩展欧几里得
质因数分解
组合数
高斯消元
矩阵快速幂
康拓展开

最大公约数&最小公倍数

inline int gcd(int x,int y){
	int z=x%y;
	while(z){x=y;y=z;z=x%y;}
	return y;
}
inline int lcm(int x,int y){
	return x/gcd(x,y)*y;//(先除后乘，不然容易爆int)
}

当然在求gcd的时候你也可以不用手写，可以直接调用stl的库__gcd()

乘法逆元

存在a的逆元：当且仅当 $gcd(a,p)=1$ （p为模数）（可以用扩展欧几里得来证明）
逆元的作用：模意义下的除法，可以不炸精度

1.线性递推

线性递推只在a<=p的时候有用！！！
因为对于大于p的数，这个就毫无意义了（仔细想一下推导的过程，不清楚可以再问哦）
对模数没有特殊要求，但要注意数据范围是否支持O（n）
仔细看一下数据范围
（这道题是保证了 $n<p$ ，所以可以使用线性递推）

inv[1]=1;
for(int i=2;i<=n;++i)
	inv[i]=(p-p/i)*1ll*inv[p%i]%p;//注意乘long long

2.扩展欧几里得
将式子转化为 $ax+py=1$
$x$ 就是a在模p意义下的逆元（调整 x 到0~m-1的范围中即可）
这种算法效率较高，常数较小，时间复杂度为O(ln n)
基本上适用于求所有拟元

inline void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b){x=1;y=0;return;}
	exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
}
exgcd(a,p,x,y);
x=(x%p+p)%p;

3.费马小定理
当模数为质数的时候： $a^{p-1}\equiv1(mod p)$
即可知： $a*a^{p-2}\equiv1(mod p)$
然后直接快速幂

快速乘&快速幂

快速乘

ll ksc(ll a,ll b,ll p){
	ll res=0;
	while(b){
		if(b&1) res=(res+a)%p;
		a=(a+a)%p;
		b>>=1;
	}
	return res;
}

快速幂

ll ksm(ll a,ll b,ll p){
	ll res=1;
	while(b){
		if(b&1) res=ksc(res,a,p);
		a=ksc(a,a,p);
		b>>=1;
	}
	return res;
}

线性筛

pri 是素数集，mx是最大质因数，mn 是最小质因数，phi 是欧拉函数，mark 是标记一个数是否为素数（是的话，mark=0）
特别的，phi[1]=1

inline void linear_sieves(){
	mark[1]=1;phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;++i){
		if(!mark[i]){pri[++num]=i;mn[i]=i;mx[i]=i;phi[i]=i-1;}
		for(int j=1;j<=num&&pri[j]*i<=N;++j){
			int now=pri[j]*i;
			mark[now]=1;
			mn[now]=pri[j];mx[now]=mx[i];
			if(i%pri[j]==0){
				phi[now]=phi[i]*pri[j];
				break;
			}
			else phi[now]=phi[i]*(pri[j]-1);
		}
	}
}

扩展欧几里得

对于任意的两个数x，y，求 $ax+by=gcd(a,b)$ 的解
扩展到更一般的情况，求 $ax+by=c$ 也是可以的
但这个式子有解当且仅当 $gcd(a,b)|c$

（平时我们用的调整，只在gcd(a,b)==1的时候适用，所以不管怎么样，全部先除以gcd(a,b)，然后该怎么搞就怎么搞）

void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
	if(!b){
		x=1;y=0;return;
	}
	exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
}

质因数分解

一个数大于 $\sqrt{x}$ 的质因数最多只有一个
所以筛到 $\sqrt{x}$ 就够了

inline void divide(int x){
	for(int i=1;i<=num&&pri[i]*pri[i]<=x;++i){
		while(x%pri[i]==0){
			x/=pri[i];
			cnt[pri[i]]++;
		}
	}
	if(x!=1) cnt[x]++;
}

组合数

组合数的一般求解公式：
$C_n^m=\frac{n!}{(n-m)!*m!}$
组合数必备三条公式：
$C_n^m=C_n^{m-1}$
$C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^{m}$
$C_n^0+C_n^1+C_n^2+C_n^3...+C_n^n=2^n$

常见求解方法：
1.杨辉三角形

	for(int i=0;i<2000;++i) c[i][0]=c[i][i]=1;
	for(int i=1;i<2000;++i)
		for(int j=1;j<i;++j)
			c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%;

2.线性筛出阶乘和逆元，O(1) 求组合数
fac 是阶乘，ifac 是阶乘的逆元

inline void init(){
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i) fac[i]=(fac[i-1]*1ll*i)%P;
	ifac[n]=ksm(fac[n],P-2);
	for(int i=n-1;i>=1;--i) ifac[i]=ifac[i+1]*1ll*(i+1)%P;
}
inline ll C(ll n,ll m){	return fac[n]*1ll*ifac[n-m]%P*ifac[m]%P;}

高斯消元

如果无解就返回-1
无穷解返回0
有解返回1，并输出一组解

inline int gauss(){
	int i,j,k;
	for(i=1;i<=n;++i){
		k=i;
		for(j=i+1;j<=n;++j) if(fabs(g[k][i])<fabs(g[j][i])) k=j;
		for(j=1;j<=n+1;++j) swap(g[k][j],g[i][j]);
		for(j=i+1;j<=n;++j)
			for(int p=i+1;p<=n+1;++p)
				g[j][p]-=g[j][i]*g[i][p]/g[i][i];
	}
	int fg=0;
	for(i=1;i<=n;++i){
		fg=0;
		for(j=i;j<=n;++j)	if(g[i][j]) fg=1;
		if(g[i][n+1]&&fg==0) return -1;
		if(g[i][n+1]==0&&fg==0) return 0;
	}
	for(i=n;i>=1;--i){
		for(j=i+1;j<=n;++j)
			g[i][n+1]-=ans[j]*g[i][j];
		ans[i]=g[i][n+1]/g[i][i];
	}
}

矩阵快速幂

这玩意儿用处可多了

struct matrix{
	ll a[N][N];
	matrix(int t=0){
		memset(a,0,sizeof(a));
		for(int i=1;i<=n;++i) a[i][i]=t;//为了方便地处理单位矩阵 
	}
	inline matrix operator *(const matrix &y){
		matrix res(0);
		for(int i=1;i<=n;++i)
			for(int j=1;j<=n;++j)
				for(int k=1;k<=n;++k)
					res.a[i][j]=(res.a[i][j]+(a[i][k]%P*y.a[k][j])%P)%P;
		return res;
	}
	friend inline matrix operator ^(matrix x,ll b){
		matrix res(1);
		while(b){
			if(b&1) res=res*x;
			x=x*x;
			b>>=1;
		}
		return res;
	}
}

康拓展开

void reverse_contor(ll x){
	x--;memset(vis,0,sizeof(vis));
	int i,j;
	for(i=1;i<=n;++i){
		int t=x/fac[n-i];
		for(j=1;j<=n;++j)
			if(!vis[j]){
				if(!t) break;
				t--;
			}
		b[i]=j;
		vis[j]=1;
		x%=fac[n-i];
	}
}
ll contor(){
	ll res=0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		int t=0;
		for(int j=i+1;j<=n;++j) if(a[j]<a[i]) t++;
		res+=1ll*t*fac[n-i];
	}
	return res;
}