http://hihocoder.com/contest/hiho92/problem/1
小Hi：这种质数算法是基于费马小定理的一个扩展，首先我们要知道什么是费马小定理：
费马小定理：对于质数p和任意整数a，有a^p ≡ a(mod p)(同余)。反之，若满足a^p ≡ a(mod p)，p也有很大概率为质数。
将两边同时约去一个a，则有a^(p-1) ≡ 1(mod p)
也即是说：假设我们要测试n是否为质数。我们可以随机选取一个数a，然后计算a^(n-1) mod n，如果结果不为1，我们可以100%断定n不是质数。
否则我们再随机选取一个新的数a进行测试。如此反复多次，如果每次结果都是1，我们就假定n是质数。
该测试被称为Fermat测试。需要注意的是：Fermat测试不一定是准确的，有可能出现把合数误判为质数的情况。
Miller和Rabin在Fermat测试上，建立了Miller-Rabin质数测试算法。
与Fermat测试相比，增加了一个二次探测定理：
如果p是奇素数，则 x^2 ≡ 1(mod p)的解为 x ≡ 1 或 x ≡ p - 1(mod p)
如果a^(n-1) ≡ 1 (mod n)成立，Miller-Rabin算法不是立即找另一个a进行测试，而是看n-1是不是偶数。如果n-1是偶数，另u=(n-1)/2，并检查是否满足二次探测定理即a^u ≡ 1 或 a^u ≡ n - 1(mod n)。
举个Matrix67 Blog上的例子，假设n=341，我们选取的a=2。则第一次测试时，2^340 mod 341=1。由于340是偶数，因此我们检查2170，得到2170 mod 341=1，满足二次探测定理。同时由于170还是偶数，因此我们进一步检查2^85 mod 341=32。此时不满足二次探测定理，因此可以判定341不为质数。
将这两条定理合起来，也就是最常见的Miller-Rabin测试。
但一次MR测试仍然有一定的错误率。为了使我们的结果尽可能的正确，我们需要进行多次MR测试，这样可以把错误率降低。
写成伪代码为：
Miller-Rabin(n):
If (n <= 2) Then
If (n == 2) Then
Return True
End If
Return False
End If
If (n mod 2 == 0) Then
// n为非2的偶数，直接返回合数
Return False
End If
// 我们先找到的最小的a^u，再逐步扩大到a^(n-1)
u = n - 1; // u表示指数
while (u % 2 == 0)
u = u / 2
End While // 提取因子2
For i = 1 .. S // S为设定的测试次数
a = rand_Number(2, n - 1) // 随机获取一个2~n-1的数a
x = a^u % n
While (u < n)
// 依次次检查每一个相邻的 a^u, a^2u, a^4u, ... a^(2^k*u)是否满足二次探测定理
y = x^2 % n
If (y == 1 and x != 1 and x != n - 1) // 二次探测定理
// 若y = x^2 ≡ 1(mod n)
// 但是 x != 1 且 x != n-1
Return False
End If
x = y
u = u * 2
End While
If (x != 1) Then // Fermat测试
Return False
End If
End For
Return True
值得一提的是，Miller-Rabin每次测试失误的概率是1/4；进行S次后，失误的概率是4^(-S)。
小Hi：那么小Ho，你能计算出这个算法的时间复杂度么？
小Ho：恩，每一次单独的MR测试，需要O(log n)的时间。一共要进行S次MR测试，也就是O(Slog n)。
小Hi：没错，这样就能够在很短的时间内完成质数的测试了。当然如果你还是不放心，可以把S的值设定的更高一点。
小Ho：好！这样就能够顺利的找到大质数了。
AC代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const int Mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 1e5 + 5;
const double eps = 0.00000001;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
#define random(a, b) (((double)rand()/RAND_MAX)*(b-a)+a)
LL Quick_Mul(LL a, LL b, LL n) {
LL res = 0;
while(b) {
if(b & 1) res = (res + a) % n;
a = (a + a) % n;
b >>= 1;
}
return res;
}
LL QuickPow(LL a, LL b, LL n) {
LL ans = 1;
while(b) {
if(b & 1) ans = Quick_Mul(ans, a, n);
a = Quick_Mul(a, a, n);
b >>= 1;
}
return ans;
}
bool Miller_Rabin(LL n) {
if(n <= 2) {
if(n == 2) return true;
return false;
}
if(n % 2 == 0) return false;
LL u = n - 1;
while(u % 2 == 0) u /= 2;
int S = 100;
srand((LL)time(0));
for (int i = 1; i <= S; i ++){
LL a = rand() % (n - 2)+ 2;
LL x = QuickPow(a, u, n);
while(u < n) {
LL y = QuickPow(x, 2, n);
if(y == 1 && x != 1 && x != n - 1)
return false;
x = y;
u = u * 2;
}
if(x != 1) return false;
}
return true;
}
int main()
{
int T;
cin >> T;
LL a[60];
for (int i = 0; i < T; i ++) cin >> a[i];
for (int i = 0; i < T; i ++) {
if(Miller_Rabin(a[i])) cout << "Yes\n";
else cout << "No\n";
}
return 0;
}