字符串的各种算法

之前想写多项式的各种算法，然后被FFT多项式求逆打自闭了。
临表涕零，不知所言。

就按我学的顺序来吧。

$manachar$
可求出对于每个点 $i$ ，以 $i$ 为中心的最长回文串的右端点到i的总字符数 $lc[i]$ （即 $i+lc[i]-1$ 为最长回文串的右端点）。
如果在字符串每两个字符间插入一个 $*$ 字符，那么也可以计算长度为偶数的回文串（没有中心）
发现 $i$ 如果在另一个回文串的右半部分，即存在 $j$ 使得 $j<i$ 并且 $j+lc[j]>i$ ，那么 $lc[i] >= min(lc[2*j-i],j+lc[j]-i)$ （因为回文串的性质，在这个回文串中才满足）。
那么我们从小到大计算 $lc[i]$ ，保存 $1$ 到 $i-1$ 的最远的回文串的右端点 $mx$ 和其回文串中心 $o$ ，那么如果 $i>mx$ 那么就暴力增加 $lc[i]$ 并验证，否则就让 $lc[i]=min(lc[2*o-i],mx-i+1)$ 然后再暴力增加 $lc[i]$ 并验证。
发现每次暴力的成功增加都会导致 $mx$ 增大。。。。。。
所以只会暴力 $O(n)$ 次。
时间复杂度 $O(n)$

模板：luogu 3805

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 22000005
using namespace std;

int lc[maxn];
char s[maxn];

void manacher(char s[maxn],int lc[maxn])
{
	int tot=0;
	static char ns[maxn]={};
	ns[tot] = '&' , ns[++tot] = '*'; // 首尾增加奇怪的字符，那么怎么扩展都会在边界时失败，省去了判断边界
	for(int i=0,len=strlen(s);i<len;i++) ns[++tot] = '*' , ns[++tot] = s[i];
	ns[++tot] = '*' , ns[++tot] = '%';
	
	int mx = 0 , o = 0;//
	for(int i=2;i<tot-1;i++)
	{
		if(i < mx) lc[i] = min(lc[2*o-i],mx-i);
		else lc[i] = 1;
		for(;ns[i-lc[i]] == ns[i+lc[i]];lc[i]++);
		if(i+lc[i] > mx) mx = i + lc[i] , o = i;//实际取右端点+1更方便
	}
}

int main()
{
	scanf("%s",s);
	manacher(s,lc);
	printf("%d",*max_element(lc,lc+(strlen(s)<<1)+1)-1);
}

$KMP$
最大的特点就是 $nxt$ 数组，其他的都是这个数组的用途而已。
$nxt[i]$ 为最大的 $j$ 满足字符串 $s[0,j-1] = s[i-j,i-1]$
这个 $nxt[i]$ 也可以像 $manacher$ 一样利用之前的答案。
如果 $s[i-1] == s[nxt[i-1]]$ 那么 $nxt[i]=nxt[i-1]+1$
否则就看是否有 $s[i-1] == s[nxt[nxt[i-1]]]$ 有就 $nxt[i]=nxt[nxt[i-1]]+1$
一直算下去。
发现每次nxt最多增加1，减少至少减少1，那么总共就只会增加减少 $O(n)$ 次。
时间复杂度 $O(n)$
而这个数组的主要用途是拿来求一个串A在另一个串B中出现了多少次的。
我们把A的 $nxt$ 数组求出。
然后从小到大枚举i，维护以i结尾的B串最多匹配A串的前k位，发现这个可以用 $nxt$ 优化，如果B[i] = A[k] 那么 i结尾可以匹配前k位，否则k=nxt[k]继续比较。。。。。 $k=|A|$ 时匹配成功。
模板：luogu P3375

#define maxn 1000005
using namespace std;

char s1[maxn],s2[maxn];

void KMP(char s1[maxn],char s2[maxn])
{
	static int nxt[maxn];
	int n = strlen(s1) , m = strlen(s2);
	
	nxt[0] = -1;
	for(int i=0,j=-1;i<m;)
		if(j==-1 || s2[i] == s2[j]) nxt[++i] = ++j;
		else j = nxt[j];
			
	for(int i=0,j=0;i<=n;i++,j++)
	{
		if(j == m) printf("%d\n",i-m+1) , j = nxt[j];
		if(i<n) while(j!=-1 && s1[i]!=s2[j]) j = nxt[j];
	}
	
	for(int i=1;i<m;i++)
		printf("%d ",nxt[i]);
	printf("%d\n",nxt[m]);
}

int main()
{
	scanf("%s\n%s",s1,s2);
	KMP(s1,s2);
}

除此之外，nxt数组还有很多的妙用。
但和manacher一样，和别的套起来考就是一道好题
例【POJ 3167】Cow Patterns （KMP+树状数组）

最小表示法待填比较好的博客
exkmp图文并茂的博客
AC 自动机
回文自动机
后缀自动机
SA后缀数组
后缀树（我想打删除线）
Trie（我好像遗忘了什么）

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