窗口设计法
窗口设计法是从单位脉冲响应着手,使h(n)逼近理想的单位脉冲响应序列hd(n)。我们知道hd(n)可以通过对理想频响求DTFT反变换获得
理想频响是分段恒定的,在边界频率处有突变点,所以,这样得到的理想滤波器单位脉冲响应hd(n)是无限长序列,而且是非因果的。但FIR的h(n)是有限长的,怎样用一个有限长的序列去近似无限长的hd(n)?最简单的办法是直接截取一段 hd(n) 代替 h(n) 。这种截取可以形象地想像为h(n)是通过一个“窗口”所看到的一段hd(n),因此,h(n)也可表达为hd(n)乘以一个“窗函数”,即
直接截取所用的窗函数为窗函数还有其它的形式。
矩形窗
以一个截止频率为ωc的线性相位理想低通滤波器为例,讨论FIR的设计问题。
- 1. 对于给定的理想低通滤波器Hd(W)计算hd(n)
这是一个以 为中心的偶对称的无限长非因果序列,如果截取一段n=0~M的hd(n)作为h(n),则可保证所得到的是线性相位FIR滤波器。
- 2.计算h(n)
3.计算H(W):
①改变了理想频响的边沿特性,形成过渡带,宽为 ,等于WR(ω)的主瓣宽度 (决定于窗的长度N和形状) 。
②过渡带两旁产生肩峰和余振(带内、带外起伏),取决于WR(ω)的旁瓣,旁瓣多,余振多;旁瓣相对值大,肩峰值亦大,与 N无关 (决定于窗口形状) 。
③N增加,过渡带宽度减小,肩峰值不变
因主瓣附近
其中x=Nω/2,所以N的改变不能改变主瓣与旁瓣的比例关系,只能改变WR(ω)的绝对值大小和起伏的密度,当N增加时, WR(ω)幅值变大,宽度( )减小,面积不变,起伏震荡变密,且最大肩峰永远为8.95%,这种现象称为吉布斯效应。
肩峰值的大小决定了滤波器通带内的平稳程度和阻带内的衰减,所以对滤波器的性能有很大的影响。
改变窗函数的形状,可改善滤波器的特性,窗函数有许多种,但要满足以下两点要求:
①窗谱主瓣宽度要窄,以获得较陡的过渡带;
②相对于主瓣幅度,旁瓣要尽可能小,使能量尽量集中在主瓣中,这样就可以减小肩峰和余振,以提高阻带衰减和通带平稳性。
但实际上这两点不能兼得,一般总是通过增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。
汉明窗
利用傅氏变换的移位特性,汉宁窗频谱W(ω)可用矩形窗频谱WR(ω)表示为:
当N>>1时,N-1≈N,因此其频谱近似为:
三部分矩形窗频谱相加,使旁瓣互相抵消,能量集中在主瓣,旁瓣大大减小,主瓣宽度增加1倍,见下图。
注:感谢徐老师课件资源,参考了很多